Question

[Nguyễn Ngọc Bảo Quang]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và góc EAD = góc ECB

b) Cho góc BMC = 120⁰ và S_AED = 36 cm². Tính S_ECB?

c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.

d) Kẻ DH ⊥ BC (H∈ BC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ ⊥ PD.

Các bạn làm ơn giải chi tiết giúp mình ! Thanks

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔEAC vuông tại A và ΔEDB vuông tại D có

góc E chung

Do đó: ΔEAC đồng dạng với ΔEDB

=>EA/ED=EC/EB

hay \(EA\cdot EB=EC\cdot ED\) 

=>EA/EC=ED/EB

=>ΔEAD đồng dạng với ΔECB

=>góc EAD=góc ECB

b: góc MBC+góc MCB=180-120=60 độ

=>90 độ-góc ECB+90 độ-góc CBE=60 độ

=>góc ECB+góc CBE=180 độ-60 độ=120 độ

=>góc E=60 độ

ΔEAD đồng dạng với ΔECB nên \(\dfrac{S_{EAD}}{S_{ECB}}=\left(\dfrac{EA}{EC}\right)^2=cos^260^0=\dfrac{1}{4}\)

=>\(S_{ECB}=144\left(cm^2\right)\)