Question

[Nguyễn Ngọc Như Trang]

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm tuỳ ý trên cạnh BC. Gọi H, K là các đường vuông góc kẻ từ Đ đến các cạnh AB và AC.

a) Chứng minh HK=AD

b) D ở vị trí nào trên BC thì AHDK là hình vuông?

c) D ở vị trí nào trên BC thì HK có độ dài ngắn nhất?

Answer 1

[T.Anh 2K7(siêu quậy)(тoáɴ๖ۣۜнọc)]

a)Ta có:\(HD\perp AH;AK\perp AH\Rightarrow HD//AK\)

Mà\(AK\perp KD\Rightarrow HD\perp KD\)

Suy ra tứ giác AHDK là hình chữ nhật suy ra HK=AD(đpcm)

b)Ta có vì AHDK là hình vuông nên AH=HD=DK=AK

Suy ra tam giác AHD vuông cân tại H

\(\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{HDA}=45^0\)

\(\Rightarrow\widehat{DAK}=90^0-45^0=45^0\)

\(\Rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{DAK}\)hay AD là tia phân giác của góc A

Vậy AHDK là hình vuông khi và chỉ khi AD là tia phân giác của góc A

c)Ta có:Để HK nhỏ nhất thì AD nhỏ nhất

Suy ra AD vuông góc với BC

Vậy HK nhỏ nhất khi và chỉ khi D là hình chiếu của A trên BC