Question

[Bùi Thị Thanh Thanh]

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M, N, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

a) Chứng minh AMNQ là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm K đối xứng với điểm N qua Q. Điểm I đối với điểm N qua M.

Chứng minh: Ba điểm I, K, A thẳng hàng.

c) Chứng minh: Hai điểm I và K đối xứng nhau qua điểm A.

d) Kẻ đường cao AH (H thuộc BC) chứng minh tứ giác MHNQ là hình thang cân.

e) Khi AB cố định điểm C di động trên tia Ax vuông góc với AB, thì tâm của hình chữ nhật AMNQ chạy trên đường nào?

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔBAC có

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của BC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔBAC(đ/n đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AC\) và MN//AC(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: \(MN=\frac{1}{2}AC\)(cmt)

mà \(AQ=\frac{1}{2}AC\)(Do Q là trung điểm của AC)

nên MN=AQ

Xét tứ giác MHQA có MN=AQ(cmt) và MN//AQ(cmt)

nên MHQA là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

mà \(\widehat{MAQ}\)=90 độ(GT)

nên MHQA là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b)

Nối AN

Ta có : N và I đối xứng với nhau qua M(GT)

mà M\(\in BA\left(gt\right)\)

nên I và N đối xứng với nhau qua BA

\(\Rightarrow\)BA là đường trung trực của IN

hay MA là đường trung trực của IN

xét \(\Delta IAN\) có

MA là đường trung trực của IN(cmt)

nên \(\Delta IAN\) cân tại A(định lí tam giác cân)

Ta có: \(\Delta IAN\) cân tại A(cmt)

mà AM là đường trung trực của \(\Delta IAN\)(cmt)

nên AM cũng là đường phân giác của \(\Delta IAN\)(định lí tam giác cân)

\(\Rightarrow\) AM là tia phân giác của \(\widehat{IAN}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{IAM}=\widehat{NAM}\)

Ta có : N và K đối xứng với nhau qua Q(GT)

mà Q\(\in AC\left(gt\right)\)

nên K và N đối xứng với nhau qua CA

\(\Rightarrow\)CA là đường trung trực của KN

hay QA là đường trung trực của KN

xét \(\Delta NAK\) có

QA là đường trung trực của KN(cmt)

nên \(\Delta NAK\) cân tại A(định lí tam giác cân)

Ta có: \(\Delta NAK\) cân tại A(cmt)

mà AQ là đường trung trực của \(\Delta NAK\)(cmt)

nên AQ cũng là đường phân giác của \(\Delta NAK\)(định lí tam giác cân)

\(\Rightarrow\) AQ là tia phân giác của \(\widehat{KAN}\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{NAQ}=\widehat{KAQ}\)

Ta có: \(\widehat{IAK}=\widehat{IAM}+\widehat{MAN}+\widehat{NAQ}+\widehat{KAQ}\)

\(=2\cdot\widehat{MAN}+2\cdot\widehat{QAN}\)

\(=2\left(\widehat{MAN}+\widehat{NAQ}\right)=2\cdot90\) độ=180 độ

vậy: 3 điểm I,A,K thẳng hàng (1)

c) Ta có: AI=AN(do ΔAIN cân tại A)

AN=AK(do ΔANK cân tại A)

Do đó: AI=AK(2)

Từ (1) và (2) suy ra: A là trung điểm của IK

hay I và K đối xứng với nhau qua A