Question

[Tùng Vũ]

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M, N, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.

a) Chứng minh AMNQ là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm K đối xứng với điểm N qua Q. Điểm I đối với điểm N qua M.

Chứng minh: Ba điểm I, K, A thẳng hàng.

c) Chứng minh: Hai điểm I và K đối xứng nhau qua điểm A.

d) Kẻ đường cao AH (H thuộc BC) chứng minh tứ giác MHNQ là hình thang cân.

e) Khi AB cố định điểm C di động trên tia Ax vuông góc với AB, thì tâm của hình chữ nhật AMNQ chạy trên đường nào?

giúp mình nhé!

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔCAB có CQ/CA=CN/CB

nên QN//AB và QN=1/2BA

=>QN=AM và QN=AM

=>AMNQ là hình bình hành

mà góc QAM=90 độ

nên AMNQ là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác ANBI có

M là trung điểm chung của AB và NI

NA=NB

Do đó: ANBI là hình thoi

=>AB là phân giác của góc NAI(1) và NA=NI

Xét tứ giác ANCK có

Q là trung điểm chung của AC và NK

NA=NC

DO đo: ANCK là hình thoi

=>AC là phân giác của góc NAK(2) và AK=AN

Từ (1) và (2) suy ra góc KAI=2*90=180 độ

=>K,A,I thẳng hàng

c: Ta có; AK=AN

AI=AN

DO đó; KA=AI

=>A là trung điểm của KI