K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Bạn tham khảo nha : https://diendantoanhoc.net/topic/53004-cho-tam-giac-abc-va-hai-trung-tuy%E1%BA%BFn-bn-va-cm-vuong-goc-v%E1%BB%9Bi-nhau-ch%E1%BB%A9ng-minh-cotgbcotgc-23/page-1

17 tháng 8 2021

a)

  • Gọi AH,AM lần lượt là đường cao, đường trung tuyến của tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác ABC
  • Ta có: \(AH\le AM\Rightarrow\frac{1}{AH}\ge\frac{1}{AM}\Rightarrow\frac{1}{AH}\ge\frac{1}{3GM}\)( do G là trọng tâm tam giác ABC)\(\left(1\right)\)
  • Xét tam giác BGC vuông tại G có BM là trung tuyến( do M là trung điểm BC)\(\Rightarrow2GM=BC\left(2\right)\)
  • \(\cot B+\cot C=\frac{BH}{AH}+\frac{HC}{AH}=\frac{BC}{AH}\left(3\right)\)
  • Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow\cot B+\cot C\ge\frac{2}{3}\left(đpcm\right)\)
14 tháng 8 2016

C B A M N x y 2y 2x O

Giả sử hai đường trung tuyến CM và BN vuông góc với nhau tại O.

Đặt OM = y , ON = x (x,y > 0) , suy ra OB = 2x , OC = 2y

Ta có : \(AB^2=\left(2BM\right)^2=4BM^2=4\left(4x^2+y^2\right)\)

\(AC^2=\left(2CN\right)^2=4CN^2=4\left(4y^2+x^2\right)\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(4x^2+y^2\right)+4\left(4y^2+x^2\right)\)

\(=4\left(5x^2+5y^2\right)=5\left(4x^2+4y^2\right)=5\left[\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2\right]\)

\(=5\left(OB^2+OC^2\right)=BC^2\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=5BC^2\)

16 tháng 12 2017

1a) A=D=E=90 độ

=>AEHD là hcn 

=>AH=DE

b)Xét tam giác DBH vuông tại D có:

DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BH

=>DI=BH/2=IH

=>tam giác IDH cân tại I

=>góc IDH=góc IHD (1)

Gọi O là gđ 2 đường chéo AH và DE

=>OD=OA=OE=OH (tự c/m)

=> tam giác DOH cân tại O

=> góc ODH=góc OHD(2)

từ (1) và (2) => góc ODH+góc IDH=90 độ(EHD+DHI=90 độ)

=>IDvuông góc DE(3)

Cmtt ta được: KEvuông góc DE(4)

Từ (3)và (4) => DI//KE.

16 tháng 12 2017

2a) Ta có góc HAB+góc HAC=90 độ (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A có 

AM là đg trung tuyến ứng vs cạnh huyền BC

=>AM=MC

=>tam giác AMC cân

=>góc MAC=góc ACM

Lại có: góc HAC+góc ACH=90 độ(2)

Từ (1) và (2) => góc BAH=góc ACM

Mà góc AMC=góc MAC(cmt)

=>ABH=MAC(3)

b)A=D=E=90 độ

=>AFHE là hcn

Gọi O là gđ EF và AM

OA=OF(tự cm đi nha)

=>tam giác OAF cân

=>OAF=OFA(4)

Ta có : OAF+MCA=90 độ(5)

Từ (3)(4) và (5)

=>MAC+OFA=90 độ

Hay AM vuông góc EF

k giùm mình nha.

18 tháng 3 2017

Gọi giao điểm của BN, CM là G => G là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có: BN vuông góc vs CM

=> BG vuông góc vs GM và CG vuông góc vs GN

=> MG2 + GB2 = BM2 =(1/2.AB)2 =90,25 và CG2 + GN2 = NC2 = (1/2AC)2 = 121 (ĐL Pytago)

=> MG2 + GB2 + CG2 + GN2 = 211,25

Mà MG = 1/2 CG và NG = 1/2 BG (Vì G là trọng tâm)

=> (1/2CG)+ CG2 + (1/2 BG)2  + BG2 =211,25 => 5/4 BG2 + 5/4 CG2 =211,25

=> BG+CG= 211,25 : 5/4 =169

=> BC2 = 169 (Vì BG+CG= BC2) => BC = 13

9 tháng 6 2016

Gọi giao điểm của hai đường chéo là O giao điểm của hai cạnh bên là S,giao điểm của SO với AB,CD lần lượt là X,Y.
Ta có AX//YC nên theo định lý Ta lét ta có:
\(\frac{AX}{YC}\)=\(\frac{AO}{OC}\)=\(\frac{AB}{DC}\)=\(\frac{AX}{DY}\)
=>YC=DY
Vậy Y là trung điểm của DC.
Ta có AB//DC theo định lý Ta-lét ta có:
\(\frac{AX}{DY}\)=\(\frac{SX}{XY}\)=\(\frac{XB}{YC}\)
mà DY=YC(c/m trên)
=>AX=XB=>X là trung điểm của AB
Vậy giao điểm của SO với AB,CD tại trung điểm của các cạnh đó
=>đpcm
Ta cũng dễ dàng chứng mình được đường thẳng chứa 4 điểm đó là trùng trực của hai cạnh đấy sao khi chừng minh chúng thẳng hàng ở trên nhé!

27 tháng 12 2017

Gọi giao điểm của hai đường chéo là O giao điểm của hai cạnh bên là S,giao điểm của SO với AB,CD lần lượt là X,Y.
Ta có AX//YC nên theo định lý Ta lét ta có:
AXYCAXYC=AOOCAOOC=ABDCABDC=AXDYAXDY
=>YC=DY
Vậy Y là trung điểm của DC.
Ta có AB//DC theo định lý Ta-lét ta có:
AXDYAXDY=SXXYSXXY=XBYCXBYC
mà DY=YC(c/m trên)
=>AX=XB=>X là trung điểm của AB
Vậy giao điểm của SO với AB,CD tại trung điểm của các cạnh đó
=>đpcm
 

16 tháng 12 2023

a: Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\left(1\right)\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=15^2+20^2=625\)

=>\(BC=\sqrt{625}=25\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot25=15\cdot20=300\)

=>\(AH=\dfrac{300}{25}=12\left(cm\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(3\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

c: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AK là đường trung tuyến

nên AK=KC=KB

Ta có: KA=KC

=>ΔKAC cân tại K

=>\(\widehat{KAC}=\widehat{KCA}\)

Ta có: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

=>\(\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\)

Ta có: \(\widehat{KAC}+\widehat{ANM}\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{KCA}=90^0\)

=>AK\(\perp\)MN tại I

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2;CH\cdot BC=CA^2\)

=>\(BH\cdot25=15^2=225;CH\cdot25=20^2=400\)

=>BH=225/25=9(cm); CH=400/25=16(cm)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\)

=>\(AM\cdot15=12^2\)=144

=>AM=144/15=9,6(cm)

Ta có: AMHN là hình chữ nhật

=>AH=MN

mà AH=12cm

nênMN=12cm

Ta có: ΔANM vuông tại A

=>\(AN^2+AM^2=NM^2\)

=>\(AN^2+9,6^2=12^2\)

=>AN=7,2(cm)

Xét ΔIMA vuông tại I và ΔAMN vuông tại A có

\(\widehat{IMA}\) chung

Do đó: ΔIMA đồng dạng với ΔAMN

=>\(\dfrac{S_{IMA}}{S_{AMN}}=\left(\dfrac{AM}{MN}\right)^2=\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}\)

=>\(S_{IMA}=\dfrac{16}{25}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AM\cdot AN=22,1184\left(cm^2\right)\)

16 tháng 12 2023

cảm ơn ạ

9 tháng 5 2017

A) Xét   \(\Delta HBA\) và  \(\Delta ABC\) có :

\(\widehat{B}\) chung     ;     \(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90\)  độ

\(\Leftrightarrow\Delta HBA\infty\Delta ABC\left(g.g\right)\)

B)  Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACB\) có : 

       \(\widehat{A}\)   chung

      \(\widehat{ABE}=\widehat{BCA}\)( Do BE là phân giác của góc B , mà   \(\widehat{B}=2\widehat{C}\))

\(\Leftrightarrow\Delta ABE\infty\Delta ACB\left(g.g\right)\)

Ta có tỉ lệ :  \(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AB}\)\(\Leftrightarrow AB^2=AE\cdot AC\left(dpcm\right)\)

C)  ta có tỉ lệ :  \(\frac{HB}{AB}=\frac{AB}{BC}\)\(\Leftrightarrow HB=\frac{AB^2}{BC}=\frac{9}{6}=1,5\left(cm\right)\)

    Xét   \(\Delta BHD\) và  \(\Delta BAE\) có :

              \(\widehat{BHD}=\widehat{BAE}=90\)độ

              \(\widehat{ABE}=\widehat{EDH}\)( do BE là phân giác của góc B )

    \(\Leftrightarrow\Delta BHD\infty\Delta BAE\left(g.g\right)\)

Ta có tỉ lệ : \(\frac{BH}{AB}=\frac{HD}{AE}=\frac{BD}{BE}\)

    \(\Rightarrow\frac{S_{BHD}}{S_{BAE}}=\left(\frac{BH}{AB}\right)^2=\left(\frac{1,5}{3}\right)^2=\frac{1}{4}\)

BÀI NÀY MK TỪNG LÀM RÙI NÊN YÊN TÂM !!! NẾU THẤY ĐÚNG THÌ TK NKA !!!

9 tháng 5 2017

Hàng thứ 5 từ dười đếm lên bạn sửa lại giúp mk là   \(\widehat{ABE}=\widehat{EBH}\)mới đúng !!! thông cảm mk bị cận 

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có 

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b: Sửa đề: Đường trung tuyến CM của ΔABC cắt HD tại N

Ta có: HD\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: HD//AB

=>ND//AM và HN//MB

Xét ΔCAM có ND//AM

nên \(\dfrac{ND}{AM}=\dfrac{CN}{CM}\left(1\right)\)

Xét ΔCMB có NH//MB

nên \(\dfrac{NH}{MB}=\dfrac{CN}{CM}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{ND}{AM}=\dfrac{NH}{MB}\)

mà AM=MB

nên ND=NH

=>N là trung điểm của DH