Question

[Minh Vũ]

cho tam giác abc nhọn có đường cao ad,be,cf cắt nhau tại h. chứng minh tg aef~ tg abc và tanB.tanC=AD/HD

Answer 1

[Blackcoffee]

Xét ∆ABE và ∆ACF có:

\(\widehat{A}\left(chung\right)\)

\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\)∆ABE ~ ∆ACF (g-g)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét ∆AEF và ∆ABC có:

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\left(cmt\right)\)

\(\widehat{A}\left(chung\right)\)\

\(\Rightarrow\)∆AEF ~ ∆ABC (đpcm)

Ta có: \(\tan B=\frac{ÁD}{DB};\tan C=\frac{AD}{DC}\)

Xét ∆ADC và ∆BDH có:

\(\widehat{HBD}=\widehat{CAD}\)( cùng phụ với \(\widehat{C}\))

\(\widehat{ADC}=\widehat{BDH}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\)∆ADC ~ ∆ BDH (g-g)

\(\Rightarrow\frac{AD}{DC}=\frac{BD}{DH}\)

\(\Rightarrow\tan B\cdot\tan C=\frac{AD}{DB}\cdot\frac{AD}{DC}=\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BD}{DH}=\frac{AD}{DH}\)(đpcm)