Question

[Khánh Đoàn Quốc]

Cho tam giác ABC nhọn , BH vuông góc với AC, CK vuông góc với AB.

Chứng minh :\(S_{BKHC}=\frac{1}{2}BH.CK.\sin A\)

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

Ta có: 

Kẻ KE vuông góc với BH  tại E

=> \(S_{BKHC}=S_{BKH}+S_{BCH}=\frac{1}{2}KE.BH+\frac{1}{2}.CH.BH\)

Gọi O là giao điểm của CH và CK

Ta có: \(\sin\widehat{O_1}=\frac{KE}{OK};\sin\widehat{O_2}=\frac{CH}{OC}\)mà \(\widehat{O_1}=\widehat{O_2}\)đối đỉnh

=> \(KE=\sin\widehat{O_1}.OK;CH=\sin\widehat{O_1}.OC\)

=> \(S_{BKHC}=\frac{1}{2}KE.BH+\frac{1}{2}.CH.BH=\frac{1}{2}BH.\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\sin\widehat{O_1}\left(OK+OC\right)=\frac{1}{2}BH.\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}KC.\sin\widehat{O_1}\)

Mặt khác: tứ giác AKOH nội tiếp ( tự chứng minh)

=> \(\widehat{O_1}=\widehat{A}\)

=> \(S_{BKHC}=\frac{1}{2}BH.\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}\text{​​}KC.\sin\widehat{A}\)