Question

[Phương Thảo]

Cho tam giác ABC . K là trung điểm của AB . E là trung điểm của AC . Trên tia đối của tia KC , lấy M sao cho KM = KC . Trên tia đối của tia EB lấy M sao cho EN=ED . Chứng minh A là trung điểm của MN ( chứng minh : Dùng tiên đề Ơ - clit )

Answer 1

[Phương An]

Answer 2

[Nguyễn Huy Tú]

Giải:

Xét \(\Delta AMK,\Delta BCK\) có:
\(AK=KB\left(=\frac{1}{2}AB\right)\)

\(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}\) ( đối đỉnh )

\(MK=KC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AMK=\Delta BCK\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{B}\) ( góc t/ứng )

Xét \(\Delta ANE,\Delta CBE\) có:
\(AE=EC\left(=\frac{1}{2}AC\right)\)

\(\widehat{E_1}=\widehat{E_2}\) ( đối đỉnh )

\(BE=EN\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ANE=\Delta CBE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{C}\) ( góc t/ứng )

Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) ( tổng 3 góc của \(\Delta ABC\) )

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MAN}=180^o\)

\(\Rightarrow M,A,N\) thẳng hàng (1)

Vì \(\Delta AMK=\Delta BCK\)

\(\Rightarrow MA=BC\) ( cạnh t/ứng )

Vì \(\Delta ANE=\Delta CBE\)

\(\Rightarrow AN=BC\)

\(\Rightarrow MA=AN\left(=BC\right)\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow A\) là trung điểm của MN

Vậy A là trung điểm của MN