Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi N là trung điểm của AC. Nối N với O và M.
Do H là trực tâm \(\Delta\)ABC => ^BAH + ^ABC = 900 (1)
Dễ thấy MN là đường trung bình \(\Delta\)ABC => MN // AB => ^NMC = ^ABC (2)
Lại có: ^NMO + ^NMC = 900 (3)
Từ (1); (2) và (3) => ^BAH = ^NMO. Tương tự: ^ABH = ^MNO
=> \(\Delta\)AHB ~ \(\Delta\)MON (g.g) => \(\frac{AH}{MO}=\frac{AB}{MN}=2\)(Do MN là đg trung bình \(\Delta\)ABC)
\(\Rightarrow\frac{AH}{MO}=\frac{AI}{MI}=2\)(Vì I là trọng tâm và AM là trung tuyến \(\Delta\)ABC)
Xét \(\Delta\)AHI và \(\Delta\)MOI: ^HAI = ^OMI (Do AH // OM); \(\frac{AH}{MO}=\frac{AI}{MI}\)=> \(\Delta\)AHI ~ \(\Delta\)MOI (c.g.c)
\(\Rightarrow\frac{IH}{IO}=\frac{IA}{IM}=2\Rightarrow IH^2=4.IO^2\).Tương tự \(HA^2=4.OM^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{IO^2+OM^2}{IH^2+HA^2}}=\sqrt{\frac{IO^2+OM^2}{4\left(IO^2+OM^2\right)}}=\frac{1}{2}.\)
ĐS: 1/2.
Dạ anh ơi, phiền anh câu này nữa ạ
Nguyễn Việt Lâm
Anh giúp em với, hai ngày nữa em thi HSG rồi
Bạn tự vẽ hình
O là giao điểm 3 đường trung trực =>O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(\Rightarrow OM\perp BC\)
H là trực tâm \(\Rightarrow AH\perp BC\Rightarrow\) AH//OM
Gọi N là trung điểm AC \(\Rightarrow\) MN//AB
\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{OMN}\) (góc có cạnh tương ứng song song)
Tương tự ta có ON//BH \(\Rightarrow\widehat{ONM}=\widehat{ABH}\) (vẫn là góc có cạnh tương ứng song song)
\(\Rightarrow\Delta ABH\sim\Delta MNO\Rightarrow\dfrac{AH}{OM}=\dfrac{AB}{MN}\)
Mà MN là đường trung bình \(\Rightarrow MN=\dfrac{AB}{2}\Rightarrow\dfrac{AH}{OM}=2\Rightarrow AH=2OM\)
Lại có I là trọng tâm \(\Rightarrow\dfrac{IA}{IM}=2=\dfrac{AH}{OM}\Rightarrow\Delta AHI\sim\Delta MOI\) (hai tam giác có 2 cặp cạnh tương ứng bị lệ và 1 góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{IH}{OI}=2\Rightarrow IH=2OI\)
Vậy \(\sqrt{\dfrac{OI^2+OM^2}{IH^2+AH^2}}=\sqrt{\dfrac{OI^2+OM^2}{\left(2OI\right)^2+\left(2OM\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\)
Dựng hình vẽ như trên. Dễ thấy O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => OA = OK và OM vuông góc BC
=> OM là đường trung bình của tam giác AHK => OM // AH và OM = 1/2AH
Dễ dàng chứng minh được O,I,H thẳng hàng và OH vuông góc OM , AH vuông góc HI
Ta có : \(\sqrt{\frac{OI^2+OM^2}{IH^2+HA^2}}=\sqrt{\frac{IM^2}{AI^2}}=\frac{IM}{AI}=\frac{1}{2}\)
