Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a)
Do $BC$ là đường kính $(O)$ nên:
$\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow BE\perp AC, CD\perp AB$
$\Rightarrow \widehat{HDA}=\widehat{HEA}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{HDA}+\widehat{HEA}=180^0$
Tứ giác $ADHE$ có tổng 2 góc đối nhau bằng $180^0$ nên là tứ giác nội tiếp (đpcm)
b)
Vì $CD\perp AB, BE\perp AC$ (cmt) và $CD\cap BE$ tại $H$ nên $H$ chính là trực tâm của tam giác $ABC$
$\Rightarrow AH\perp BC$ tại $F$
$\Rightarrow \widehat{HFB}=\widehat{HDB}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{HFB}+\widehat{HDB}=180^0$
Tứ giác $DHFB$ có 2 góc đối có tổng là $180^0$ nên là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{FDH}=\widehat{FBH}=\widehat{CBE}$
Mà $\widehat{CBE}=\widehat{CDE}=\widehat{HDE}$ (góc nt cùng chắn cung $CE$)
$\Rightarrow \widehat{FDH}=\widehat{HDE}$
$\Rightarrow DH$ là tia phân giác của góc $\widehat{EDF}$
a: Xét tứ giác BNMC có góc BNC=góc BMC=90 độ
nên BNMC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔPMC và ΔPBN có
góc PMC=góc PBN
góc MPC chung
DO đó: ΔPMC đồng dạng với ΔPBN
Suy ra: PM/PB=PC/PN
hay \(PB\cdot PC=PM\cdot PN\)
a) Chứng minh ADEH là tứ giác nội tiếp.Ta có: ∠ADB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)EH⊥AB⇒∠AHE=900Tứ giác ADEH có: ∠ADE+∠AHE=900+900=1800 nên là tứ giác nội tiếp (đpcm)b) Tia CH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Gọi I là giao điểm của DK và AB. Chứng minh DI2=AI.BI.Tứ giác ADCK nội tiếp nên ∠ADK=∠ACK (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK) (1)Xét tứ giác ECBH có:∠ECB=∠ACB=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)∠EHB=900(doEH⊥AB)⇒∠ECB+∠EHB=900+900=1800Do đó tứ giác ECBH nội tiếp (tứ giác có hai góc đối có tổng số đo bằng 1800)⇒∠ECH=∠EBH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)⇒∠ACK=∠DBA (2)Từ (1) và (2) suy ra ∠ADK=∠DBA⇒∠ADI=∠DBALại có ∠DBA+∠DAB=900 nên ∠ADI+∠DAB=900 hay ∠ADI+∠DAI=900⇒∠DIA=1800−(∠ADI+∠DAI)=1800−900=900⇒DI⊥AB nên DI là đường cao trong tam giác vuông ADB⇒DI2=IA.IB (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) (đpcm)c) Khi tam giác DAB không cân, gọi M là trung điểm của EB, tia DC cắt tia HM tại N. Tia NB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HMB tại điểm thứ hai là F. Chứng minh F thuộc đường tròn (O).Theo câu b, DK⊥BA tại I nên AB là đường trung trực của DK⇒DA=AK ⇒sdcungAD=sdcungAK⇒∠DCA=∠ACK ⇒CA là tia phân giác của góc ∠DCH⇒∠DCH=2∠ECH (3)Tam giác EHB vuông tại H có M là trung điểm EB nên HM là đường trung tuyến⇒MH=MB⇒ΔMHB cân tại M⇒∠DMH=∠MHB+∠MBH=2∠MBH=2∠EBH (4)Tứ giác ECBH có: ∠ECB+∠EHB=900+900=1800 nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)⇒∠ECH=∠EBH (5)Từ (3), (4) và (5) suy ra ∠DCH=∠DMH⇒DCMH là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)⇒∠NCM=∠NHD (tính chất)Xét ΔNCM và ΔNHD có:Góc N chung∠NCM=∠NHD(cmt)⇒ΔNCM∼ΔNHD(g−g)⇒NCNH=NMND (cạnh tương ứng)⇒NC.ND=NM.NH (6)Tứ giác HMBF nội tiếp nên ∠NMB=∠NFH (tính chất)Xét ΔNMB và ΔNFH có:Góc N chung∠NMB=∠NFH (cmt)⇒ΔNMB∼ΔNFH(g−g)⇒NMNF=NBNH (cạnh tương ứng)⇒NM.NH=NB.NF (7)Từ (6) và (7) suy ra NC.ND=NF.NB⇒NCNF=NBNDXét ΔNBC và ΔNDF có:Góc N chungNCNF=NBND(cmt)⇒ΔNBC∼ΔNDF(c−g−c)⇒∠NCB=∠NFD=∠BFD (góc tương ứng)Mà ∠NCB+∠DCB=1800 (kề bù)Nên ∠BFD+∠DCB=1800Do đó tứ giác DCBF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)Vậy điểm F nằm trên đường tròn (O) (đpcm).
Lời giải:
a)
Xét tam giác $ABD$ và $ACE$ có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung $ED$)
\(\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle ACE(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\Rightarrow AB.AE=AD.AC\) (đpcm)
b)
Ta có \(\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^0\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow BD\perp AC; CE\perp AB\)
Xét tam giác $ABC$ có $BD\perp AC, CE\perp AB$.
Mà $BD$ giao $CE$ tại $H$ nên $H$ chính là trực tâm của tam giác $ABC$
\(AH\perp BC\) hay $AF\perp BC$.
Từ $H$ là trực tâm của $ABC$ ta suy ra \(\widehat{HEB}=\widehat{HFB}=90^0\)
Tứ giác $BEHF$ có tổng 2 góc đối nhau:
\(\widehat{HEB}+\widehat{HFB}=90^0+90^0=180^0\) nên là tứ giác nội tiếp.
c)
Vì $BEHF$ là tứ giác nội tiếp nên:
\(\widehat{HEF}=\widehat{HBF}=\widehat{DBC}\)
\(\widehat{DBC}=\widehat{DEC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung $DC$)
\(\Rightarrow \widehat{HEF}=\widehat{DEC}\)
\(\Rightarrow \widehat{DEF}=\widehat{HEF}+\widehat{DEC}=2\widehat{DEC}=\widehat{DOC}\) (góc nội tiếp chắn một cung thì bằng một nửa góc ở tâm chắn cung đó)
\(\Rightarrow \widehat{DEF}=180^0-\widehat{DOF}\)
\(\Rightarrow \widehat{DEF}+\widehat{DOF}=180^0\Rightarrow ODEF\) là tứ giác nội tiếp.
