Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
xet tam giác OBC có OB=OC=BC suy ra tam giác OBC đều suy ra CBA=60 độ
easy
\(VT\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2c}+\frac{8}{\left(b+c\right)^2+\left(b+c\right)^2c}+\frac{8}{\left(c+a\right)^2+\left(c+a\right)^2b}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+\frac{\left(c+a\right)^2}{4}\)
\(=\frac{8}{\left(a+b\right)^2\left(c+1\right)}+\frac{8}{\left(b+c\right)^2\left(a+1\right)}+\frac{8}{\left(c+a\right)^2\left(b+1\right)}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+\frac{\left(c+a\right)^2}{4}\)
đến đây ghép rồi dùng cô si
bài này trong đề thi của tỉnh nào đó ở nước nào đó ở hành tinh nào đó năm 2016-2017
sai đề nhé ở đây, min nó là 16 mà 6 căn 6=14 thôi, mà cái điểm rơi cũng ngộ nữa :))
Nếu bạn đã nói sai thì cho mình giải thử nhé!
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky - Cauchy - Schwarz, ta có:
\(\left(ax+by+cz\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)\(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge ax+by+cz\)(với a, b, c, x, y, z là những số dương)
\(\Rightarrow\sqrt{2+18+4}\cdot\sqrt{\frac{8}{a^2}+\frac{9b^2}{2}+\frac{c^2a^2}{4}}\ge\sqrt{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{a}+3\sqrt{2}\cdot\frac{3b}{\sqrt{2}}+2\cdot\frac{ca}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{24}\cdot\sqrt{\frac{8}{a^2}+\frac{9b^2}{2}+\frac{c^2a^2}{4}}\ge\frac{4}{a}+9b+ca\)(1)
Tương tự ta có: \(\sqrt{24}.\sqrt{\frac{8}{b^2}+\frac{9c^2}{2}+\frac{a^2b^2}{4}}\ge\frac{4}{b}+9c+ab\)(2)
\(\sqrt{24}\cdot\sqrt{\frac{8}{c^2}+\frac{9a^2}{2}+\frac{b^2c^2}{4}}\ge\frac{4}{c}+9a+bc\)(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: \(\sqrt{24}\cdot\left(VT\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}+9\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca\)
\(=\left(\frac{4}{a}+a\right)+\left(\frac{4}{b}+b\right)+\left(\frac{4}{c}+c\right)+\left(2a+bc\right)+\left(2b+ca\right)+\left(2c+ab\right)\)\(+6\left(a+b+c\right)\)\(\ge2\sqrt{\frac{4}{a}\cdot a}+2\sqrt{\frac{4}{b}\cdot b}+2\sqrt{\frac{4}{c}\cdot c}+2\sqrt{2abc}+2\sqrt{2abc}+2\sqrt{2abc}\)\(+6\left(a+b+c\right)\)\(=12+6\left(a+b+c+\sqrt{2abc}\right)\ge12+6\cdot10=72\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{72}{\sqrt{24}}=6\sqrt{6}\)
Dấu ''='' xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a+b+c+\sqrt{2abc}=10\\VT=6\sqrt{6}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=2}\)
Vậy ta được ĐPCM
Đề tuyển sinh vào trường chuyên tỉnh Hải Dương năm 2019-2020
Ta có \(M=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}+\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2+\left(a^2-b^2\right)^2}{\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}=\frac{2\left(a^4+b^4\right)}{a^4-b^4}=2+\frac{4b^4}{a^4-b^4}\)
\(N=\frac{\left(a^8+b^8\right)^2+\left(a^8-b^8\right)^2}{\left(a^8-b^8\right)\left(a^8+b^8\right)}=\frac{2\left(a^{16}+b^{16}\right)}{a^{16}-b^{16}}=1+\frac{4b^{16}}{a^{16}-b^{16}}\)
+) b=0 => M=2; N=2 => M=N
+) b\(\ne\)0 => \(M=2+\frac{4}{\left(\frac{a}{b}\right)^4-1}\)đặt \(t=\left(\frac{a}{b}\right)^4\)
\(\Rightarrow M-2=\frac{4}{t^4-1}\Rightarrow\frac{4}{M-2}=t^4-1\Rightarrow t^4=\frac{4}{M-2}+1=\frac{2+M}{M-2}\)
\(N=2+\frac{4}{\left(\frac{1}{b}\right)^{16}+1}=2+\frac{4}{\left(t^4\right)^4+1}=2+\frac{4}{\left(\frac{2+M}{M-2}\right)^4-1}\)