Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Delta'=m-1\ge0\Rightarrow m\ge1\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m+1\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1^3+x_2^3-2\left(x_1+x_2\right)\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-2\left(x_1+x_2\right)\)
\(=8m^3-3.2m\left(m^2-m+1\right)-4m\)
\(=2m^3+6m^2-10m\)
\(=2\left(m^3+3m^2-5m+1\right)-2\)
\(=2\left(m-1\right)\left[\left(m^2-1\right)+4m\right]-2\)
Do \(m\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\ge0\\\left(m^2-1\right)+4m>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(m-1\right)\left[\left(m^2-1\right)+4m\right]\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge-2\)
\(A_{min}=-2\) khi \(m=1\)
\(\Delta'=m^2-\left(m^2-m+2\right)=m-2\)
Pt đã cho có 2 nghiệm khi \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow m\ge2\)
b.
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m+2\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)\)
\(A=m^2-m+2-4m\)
\(A=m^2-5m+2=\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{17}{4}\ge-\dfrac{17}{4}\)
\(A_{min}=-\dfrac{17}{4}\) khi \(m=\dfrac{5}{2}\)
\(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4.\left(-2\right)\)
\(=4m^2-8m+8+8\)
\(=4m^2-8m+16\)
\(=3m^2+\left(m-4\right)^2\)
Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m>4\end{matrix}\right.\) \(\rightarrow m>4\)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\left(1\right)\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)
\(A=x_1^2+4x_2^2\)
\(A=x_1^2+\left(2x_2\right)^2\)
\(\Rightarrow Min_A=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=0\\x_2=0\end{matrix}\right.\)
Thế vào (1) ta được: \(0=2m-2\)
\(\Leftrightarrow m=1\)
Ta nhận thấy tổng các hệ số của pt bậc 2 đã cho là \(1-a+a-1=0\) nên pt này có 1 nghiệm là 1, nghiệm kia là \(a-1\), nhưng do không được giải pt nên ta sẽ làm theo cách sau:
Ta thấy pt này luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Viète:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=a\\x_1x_2=a-1\end{matrix}\right.\)
Vậy, \(M=\dfrac{3\left(x_1^2+x_2^2\right)-3}{x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}\)
\(M=\dfrac{3\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-3}{a\left(a-1\right)}\)
\(M=\dfrac{3\left(a^2-2\left(a-1\right)\right)-3}{a\left(a-1\right)}\)
\(M=\dfrac{3\left[\left(a-1\right)^2-1\right]}{a\left(a-1\right)}\)
\(M=\dfrac{3a\left(a+2\right)}{a\left(a-1\right)}\)
\(M=\dfrac{3a+6}{a-1}\)
b) Ta có \(P=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=a^2-2\left(a-1\right)=\left(a-1\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\). Vậy để P đạt GTNN thì \(a=1\)
d: Ta có: \(\text{Δ}=\left(m+1\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m+3\right)\)
\(=m^2+2m+1-8m-24\)
\(=m^2-6m-23\)
\(=m^2-6m+9-32\)
\(=\left(m-3\right)^2-32\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left(m-3\right)^2>32\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-3>4\sqrt{2}\\m-3< -4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4\sqrt{2}+3\\m< -4\sqrt{2}+3\end{matrix}\right.\)
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1-x_2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1=\dfrac{m+3}{2}\\x_2=x_1-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+3}{4}\\x_2=\dfrac{m+3}{4}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{m-1}{4}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m+3\right)\left(m-1\right)}{16}=\dfrac{m+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-1\right)=8\left(m+3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=9\end{matrix}\right.\)