Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Đặt \(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-\left(m-4\right)=m^2+m+5=\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}>0\forall m\)
=>pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1;x2 là 2 nghiệm phân biệt của pt. Theo hệ thức Vi-ét: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m-4\end{cases}}\)
c) \(x_1^2+x_2^2=10\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-2\left(m-4\right)=10\)
\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4-2m+8=10\Leftrightarrow4m^2+6m+2=0\Leftrightarrow2m^2+3m+1=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2+2m+m+1=0\Leftrightarrow2m\left(m+1\right)+\left(m+1\right)=0\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(2m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m+1=0\\2m+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=-1\\m=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)
a) khi m=3
\(\left(1\right):y^2-2\left(3-1\right).y-\left(3+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow y^2-4y-5=0\)
\(\Leftrightarrow y^2-4y+4-9=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)^2=9=3^2\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y-2=3\\y-2=-3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=5\\y=-1\end{cases}}\)
b)
\(y^2-2\left(m-1\right)y-\left(m+2\right)=0\)
\(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4.1.\left[-\left(m+2\right)\right]\)
\(=4\left(m^2-2m+1\right)+4.\left(m+2\right)\)
\(=4m^2-8m+4+4m+8\)
\(=4m^2-4m+12\)
\(=4m^2-4m+1+11\)
\(=\left(2m-1\right)^2+11\ge11>0\)
=> pt luôn có hai nghiệm phân biệt
a) Ta có: \(\Delta'=\left(-m\right)^2+m+1=m^2+m+1=\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức viet, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-m-1\end{cases}}\)
Theo bài ra, ta có: \(\hept{\begin{cases}S=2x_1+3x_2+3x_1+2x_2=5\left(x_1+x_2\right)=5.2m=10m\\P=\left(2x_1+3x_2\right)\left(3x_1+2x_2\right)=6x_1^2+13x_1x_2+6x_2^2=6\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S=10m\\P=6.\left(2m\right)^2-m-1=24m^2-m-1\end{cases}}\)
Hai nghiệm 2x1 + 3x2 và 3x1 + 2x2 là nghiệm của pt \(x^2-10mx+24m^2-m-1=0\)
b) Theo bài ra, ta có:
\(\left|2x_1+3x_2\right|+\left|3x_1+2x_2\right|=30\)
<=> \(\left(2x_1+3x_2\right)^2+\left(3x_1+2x_2\right)^2+2\left|\left(2x_1+3x_2\right)\left(3x_1+2x_2\right)\right|=900\)
<=> \(\left(2x_1+3x_2+3x_1+2x_2\right)^2-2\left(2x_1+3x_2\right)\left(3x_1+2x_2\right)+2\left|24m^2-m-1\right|=900\)
<=> \(\left(10m\right)^2-2\left(24m^2-m-1\right)+2\left|24m^2-m-1\right|=900\)
<=> \(52m^2+2m+2+2\left|24m^2-m-1\right|=900\)
<=> \(\left|24m^2-m-1\right|=449-26m^2-m\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}24m^2-m-1=449-26m^2-m\left(đk:m\ge\frac{1+\sqrt{97}}{48}hoặcx\le\frac{1-\sqrt{97}}{48}\right)\\24m^2-m-1=26m^2+m-449\left(đk:\frac{1-\sqrt{97}}{48}\le x\le\frac{1+\sqrt{97}}{48}\right)\end{cases}}\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}50m^2=1\\2m^2+2m-448=0\end{cases}}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}m=\pm\frac{1}{5\sqrt{2}}\\m^2+m-224=0\end{cases}}\) (\(\orbr{\begin{cases}m=\frac{1}{5\sqrt{2}}\left(ktm\right)\\m=-\frac{1}{5\sqrt{2}}\left(tm\right)\end{cases}}\))
<=> \(m^2+m-224=0\)(có 2 nghiệm ko thõa mãn -> tự tính)
a) \(\Delta'=m^2+m+1>0\forall m\). Do đó phương trình cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Khi đó, theo hệ thức Viet: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-m-1\end{cases}}\)
Suy ra \(\hept{\begin{cases}5\left(x_1+x_2\right)=10m\\\left(2x_1+3x_2\right)\left(3x_1+2x_2\right)=6\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=24m^2-m-1\end{cases}}\)
Áp dụng định lí Viet đảo ta có được phương trình:
\(X^2-10mX+24m^2-m-1=0\left(1\right)\) nhận \(2x_1+3x_2\) và \(3x_1+2x_2\) làm nghiệm.
b) Để \(\left(1\right)\) có nghiệm thì \(100m^2\ge4\left(24m^2-m-1\right)\Leftrightarrow4m^2+4m+4\ge0\left(đ\right)\)
Ta có \(\left|X_1\right|+\left|X_2\right|=30\Leftrightarrow\left(X_1+X_2\right)^2-2X_1X_2+2\left|X_1X_2\right|-900=0\)
\(\Rightarrow100m^2-2\left(24m^2-m-1\right)+2\left|24m^2-m-1\right|+900=0\)
+) Nếu \(24m^2-m-1\ge0\) thì \(100m^2+900=0\Leftrightarrow m=\pm3\)
+) Nếu \(24m^2-m-1< 0\) thì \(4m^2+4m+904=0\)(Vô nghiệm)
Vậy \(m=\pm3.\)
1) Với m= 2 PT trở thành x 2 − 4 x + 3 = 0
Giải phương trình tìm được các nghiệm x = 1 ; x = 3.
2) Ta có Δ ' = m 2 − m 2 + 1 = 1 > 0 , ∀ m .
Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Từ giả thiết ta có x i 2 − 2 m x i + m 2 − 1 = 0 , i = 1 ; 2. x i 3 − 2 m x i 2 + m 2 x i − 2 = x i x i 2 − 2 m x i + m 2 − 1 + x i − 2 = x i − 2 , i = 1 ; 2.
Áp dụng định lí Viét cho phương trình (1) ta có x 1 + x 2 = 2 m ; x 1 . x 2 = m 2 − 1
Ta có
x 1 − 2 + x 2 − 2 = 2 m − 4 ; x 1 − 2 x 2 − 2 = x 1 x 2 − 2 x 1 + x 2 + 4 = m 2 − 1 − 4 m + 4 = m 2 − 4 m + 3
Vậy phương trình bậc hai nhận x 1 3 − 2 m x 1 2 + m 2 x 1 − 2 , x 2 3 − 2 m x 2 2 + m 2 x 2 − 2 là nghiệm là x 2 − 2 m − 4 x + m 2 − 4 m + 3 = 0.