Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(\dfrac{1}{2}x^2=2x-m+1\)
=>\(\dfrac{1}{2}x^2-2x+m-1=0\)
\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\left(m-1\right)\)
\(=4-2\left(m-1\right)=4-2m+2=-2m+6\)
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)
=>-2m+6>0
=>-2m>-6
=>m<3
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}}=4\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-1}{\dfrac{1}{2}}=2\left(m-1\right)\end{matrix}\right.\)
\(x_1x_2\left(y_1+y_2\right)+48=0\)
=>\(\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2\right)\cdot x_1x_2+48=0\)
=>\(\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot\left(m-1\right)\cdot\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]+48=0\)
=>\(\left(m-1\right)\cdot\left[4^2-2\cdot2\left(m-1\right)\right]+48=0\)
=>\(\left(m-1\right)\left(16-4m+4\right)+48=0\)
=>\(\left(m-1\right)\left(-4m+20\right)+48=0\)
=>\(\left(m-1\right)\left(-m+5\right)+12=0\)
=>\(-m^2+5m+m-5+12=0\)
=>\(-m^2+6m+7=0\)
=>\(m^2-6m-7=0\)
=>(m-7)(m+1)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=7\left(loại\right)\\m=-1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
a, Thay m = -1/2 vào (d) ta được :
\(y=2x-2.\left(-\frac{1}{2}\right)+2\Rightarrow y=2x+3\)
Hoành độ giao điểm thỏa mãn phương trình
\(2x+3=x^2\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\)
\(\Delta=4-4\left(-3\right)=4+12=16>0\)
\(x_1=\frac{2-4}{2}=-1;x_2=\frac{2+4}{2}=3\)
Vói x = -1 thì \(y=-2+3=1\)
Vớ x = 3 thì \(y=6+3=9\)
Vậy tọa độ giao điểm của 2 điểm là A ( -1 ; 1 ) ; B ( 3 ; 9 )
b, mình chưa học
\(y_1+y_2=4\left(x_1+x_2\right)\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=4\left(x_1+x_2\right)\)(1)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có:
\(x^2=2x-2m+2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+2m-2=0\)
Theo hệ thức Vi-et ta có:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=2m-2\end{cases}}\)
Từ (1) \(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(x_1+x_2\right)\)
\(\Leftrightarrow4-4m+4=8\)
\(\Leftrightarrow m=0\)
vậy..
xin lỗi mình chưa đọc chỗ parabol ,sửa dòng 8 dưới lên nhé
\(x_1x_2\left(\frac{1}{2}x_1^2+\frac{1}{2}x_2^2\right)+48=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}x_1x_2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]+48=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(2m-2\right)\left[16-2\left(2m-2\right)\right]+48=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(20-4m\right)+48=0\Leftrightarrow-4m^2+20m-20+4m+48=0\)
\(\Leftrightarrow-4m^2+24m+28=0\Leftrightarrow m^2-6m-7=0\)
Ta có : a - b + c = 1 + 6 - 7 = 0
vậy pt có nghiệm x = -1 ; x = 7
a) vì A(-1; 3) thuộc (d) nên:
3 = 2.(-1) - a + 1
<=> 3 = -2 - a + 1
<=> a = 4
b) Lập phương trình hoành độ giao điểm:
\(2x-a+1=\frac{1}{2}x^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}x^2-2x+a-1=0\)
ta có: \(y_1=\frac{1}{2}x_1^2\)
\(y_2=\frac{1}{2}x_2^2\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(\frac{1}{2}x_1^2+\frac{1}{2}x_2^2\right)+48=0\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2\left[\frac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2\right)\right]+48=0\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2\left[\frac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]+48=0\)
Theo định lý viet, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{a-1}{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-1}{2}\right)\left[\frac{1}{2}\cdot4^2-2\left(\frac{a-1}{2}\right)\right]+48=0\)
\(\Leftrightarrow10a-a^2+87=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x_1=5-4\sqrt{7}\\x_2=5+4\sqrt{7}\end{cases}}\)
a) Thay y=8 vào \(\left(P\right):y=\frac{-x^2}{2}\):
\(8=\frac{-x^2}{2}\Rightarrow x=\pm4\)
Vậy M(4;8) hoặc (-4;8).
b) \(\frac{-x^2}{2}=x+m\)
\(\Leftrightarrow-x^2-2x-2m=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+2m=0\)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm pb thì Δ>0
\(\Rightarrow4-8m>0\Leftrightarrow m< \frac{1}{2}\)
Có: \(y_1=x_1+m;y_2=x_2+m\)
\(\Rightarrow\left(x_1+y_1\right)\left(x_2+y_2\right)=\frac{33}{4}\)
\(\Rightarrow\left(2x_1+m\right)\left(2x_2+m\right)=\frac{33}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x_1x_2+2x_1m+2x_2m+m^2=\frac{33}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x_1x_2+2m\left(x_1+x_2\right)+m^2=\frac{33}{4}\)
Theo hệ thức Vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow8m-4m+m^2=\frac{33}{4}\)
\(\Leftrightarrow m^2+4m=\frac{33}{4}\)
\(\Leftrightarrow m^2+4m-\frac{33}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{3}{2}\left(KTM\right)\\m=\frac{-11}{2}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy m=\(\frac{-11}{2}\) thỏa mãn.
Câu 1.
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{align} & {{x}^{2}}=\left( 2a+1 \right)x-{{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( 2a+1 \right)x+{{a}^{2}}=0 \\ & \Delta ={{\left[ -\left( 2a+1 \right) \right]}^{2}}-4.1.{{a}^{2}}=4a+1 \\ \end{align}\)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì $\Delta >0\Rightarrow 4a+1>0\Rightarrow a>-\dfrac{1}{4}$
Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2a+1\left( 1 \right) \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{a}^{2}}\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)
Theo đề bài, ta có: ${{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=0\left( 3 \right)$
Kết hợp (1) và (3), ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2a + 1\\ {x_1} - 4{x_2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \dfrac{{8a + 4}}{5}\\ {x_2} = \dfrac{{2a + 1}}{5} \end{array} \right.\left( * \right)\)
Thay (*) vào (2), ta được:
\(\begin{array}{l} \left( {\dfrac{{8a + 4}}{5}} \right).\left( {\dfrac{{2a + 1}}{5}} \right) = {a^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {8a + 4} \right)\left( {2a + 1} \right)}}{{25}} = {a^2}\\ \Leftrightarrow 16{a^2} + 16a + 4 = 25{a^2}\\ \Leftrightarrow 9{a^2} - 16a - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 2\left( {tm} \right)\\ a = - \dfrac{2}{9}\left( {tm} \right) \end{array} \right. \end{array}\)
Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-2\left(m-2\right)x-5=0\)
\(\Delta'=\left(m-2\right)^2+5>0;\forall m\Rightarrow\) (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1x_2=-5\end{matrix}\right.\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2< 0\\x_1< x_2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1< 0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)
\(\left|x_1\right|+\left|x_2+2\right|=10\)
\(\Leftrightarrow-x_1+x_2+2=10\Leftrightarrow x_2-x_1=8\)
\(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)^2=64\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=64\)
\(\Leftrightarrow4\left(m-2\right)^2+20=64\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2=11\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{11}\\m=2-\sqrt{11}\end{matrix}\right.\)
a (tóm tắt lại): Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
\(x^2=mx-m+1\)
\(\Leftrightarrow x^2-mx+m-1=0\left(1\right)\)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt. Do đó \(\Delta>0\Leftrightarrow m\ne2\).
b) \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)
Do đó phương trình (1) có 2 nghiệm là x=1 và x=m-1. Mặt khác phương trình (1) cũng có 2 nghiệm phân biệt là x1, x2 và vai trò của x1, x2 trong biểu thức A là như nhau nên ta giả sử \(x_1=1;x_2=m-1\left(m\ne2\right)\)
Từ đây ta có:
\(A=\dfrac{2.1.\left(m-1\right)}{1^2+\left(m-1\right)^2+2\left[1+1.\left(m-1\right)\right]}\)
\(=\dfrac{2\left(m-1\right)}{1+\left(m-1\right)^2+2+2\left(m-1\right)}\)
\(=\dfrac{2\left(m-1\right)}{1+\left(m^2-2m+1\right)+2+2m-2}=2.\dfrac{m-1}{m^2+2}\)
\(\Rightarrow A\left(m^2+2\right)=2\left(m-1\right)\)
\(\Leftrightarrow Am^2-2m+2\left(A+1\right)=0\left(2\right)\)
Coi phương trình (2) là phương trình bậc 2 tham số A ẩn x, ta có:
\(\Delta'\left(2\right)=1^2-2A\left(A+1\right)=-2\left(A^2+A\right)+1=-2\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}\)
Để phương trình (2) có nghiệm thì \(\Delta'\left(2\right)\ge0\Rightarrow-2\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le A+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\le A\le\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)
Để phương trình (2) có nghiệm kép thì: \(\Delta'\left(2\right)=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{A}\)
\(MinA=-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\Leftrightarrow\Delta'\left(2\right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{A}\dfrac{1}{-\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}}=1-\sqrt{3}\)
\(MaxA=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\Leftrightarrow\Delta'\left(2\right)=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}}=\sqrt{3}+1\)
Mình mới sửa một chút nhé.
\(\left(A+\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{3}{4}\) \(\Leftrightarrow\left|A+\dfrac{1}{2}\right|\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}A+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\A+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\le A+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Nếu gặp dạng \(a^2\le b\) (b là số dương) thì a sẽ bé hơn b và lớn hơn số đối của b, nói chung a nằm trong khoảng từ -b đến b.
Ví dụ: \(a^2\le4\Leftrightarrow\left|a\right|\le2\Leftrightarrow-2\le a\le2\)
Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-mx+m-1=0\)
\(a+b+c=0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)
Để pt có 2 nghiệm pb \(\Rightarrow m-1\ne1\Rightarrow m\ne2\)
Do hiển nhiên \(1< 2\) nên \(x_1< x_2< 2\Rightarrow m-1< 2\)
\(\Rightarrow m< 3\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ne2\\m< 3\end{matrix}\right.\)
Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là nghiệm của PT: \(\dfrac{x^2}{2}=mx-m+2\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{2}-mx+m-2=0\)\(\Leftrightarrow x^2-2mx+2m-4=0\left(1\right)\)
a, Thay x = 4 vào (1) ta có: \(4^2-2m\left(4-1\right)-4=0\Leftrightarrow6m=12\Leftrightarrow m=2\)
b, Ta có: \(x^2-2mx+2m-4=0\left(1\right)\)
\(\Delta=m^2-2m+4=\left(m-1\right)^2+3>0\forall m\)\(\Rightarrow\Delta>0\forall m\Rightarrow\)PT(1) có nghiệm \(\forall m\) \(\Rightarrow\)đpcm
c, Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt \(\forall m\)\(\Rightarrow PT\left(1\right)\)luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\)
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(x_1+x_2=2m\left(2\right)\)
\(y_1+y_2=\left(mx_1-m+2\right)+\left(mx_2-m+2\right)\)\(=mx_1-m+2+mx_2-m+2=m\left(x_1+x_2\right)-2m+4\left(3\right)\)
Thay (2) vào (3) ta có: \(y_1+y_2=2m^2-2m+4=\left(m\sqrt{2}\right)^2-4m\sqrt{2}+4+4m\sqrt{2}-2m\)\(=\left(m\sqrt{2}-2\right)^2+2m\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(4\right)\)
Thay (2) vào (4) ta có:
\(y_1+y_2=\left(m\sqrt{2}-2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)\)
\(\Rightarrow y_1+y_2\ge\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(x_1+x_2\right)\)
Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(x^2=mx-m+2\)
=>\(x^2-mx+m-2=0\)
\(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-2\right)\)
\(=m^2-4m+8\)
\(=\left(m-2\right)^2+4>0\forall m\)
=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(-m\right)}{1}=m\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m-2\end{matrix}\right.\)
\(x_1y_2+x_2y_1-15=0\)
=>\(x_1\cdot x_2^2+x_2\cdot x_1^2-15=0\)
=>\(x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-15=0\)
=>\(m\left(m-2\right)-15=0\)
=>\(m^2-2m-15=0\)
=>(m-5)(m+3)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=5\left(nhận\right)\\m=-3\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)