Question

[Huong Ly Nguyen]

Cho (P): y= \(x^2\)và (d): y= \(2mx+m+1\)

a, Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m=-1

b. Chứng minh rằng: (d) luôn cắ (P) tại 2 điểm phân biệt

c. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1;x_2\)thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\)đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

[Nguyễn Huy Tú]

a, Thay m =-1 vào (d) ta được : \(y=-2x\)

Hoành độ giao điểm (P) ; (d) thỏa mãn pt 

\(x^2+2x=0\Leftrightarrow x\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow x=0;x=-2\)

Với x = 0 => y = 0 

Với x = -2 => y = 4 

Vậy với m = -1 thì (P) cắt (D) tại O(0;0) ; A(-2;4) 

b, Hoành độ giao điểm (P) ; (d) thỏa mãn pt 

\(x^2-2mx-m-1=0\)

\(\Delta'=m^2-\left(-m-1\right)=m^2+m+1>0\forall m\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb hay (P) cắt (d) tại 2 điểm pb 

c, Theo Vi et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-m-1\end{cases}}\)

Ta có : \(\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2\)Thay vào ta được 

\(4m^2-5\left(-m-1\right)=4m^2+5m+5\)

\(=4m^2+\frac{2.2m.5}{4}+\frac{25}{16}-\frac{25}{16}+5=\left(2m+\frac{5}{4}\right)^2+\frac{55}{16}\ge\frac{55}{16}\)

Dấu ''='' xảy ra khi m = -5/88 

Vậy với m = -5/88 thì GTNN của biểu thức trên là 55/16