Question

[Huỳnh Tấn Ngọc]

cho p và 8p-1 là 2 số nguyên tố : chứng tỏ rằng 8p+1 là hợp số

Answer 1

[Nguyễn Trương Ngọc Thi]

* Nếu p = 3 => 8p-1 = 23: nguyên tố, 8p+1 = 25 là hợp số : thỏa 

* Xét: p # 3 
Thấy: p-1, p, p+1 là 3 số nguyên liên tiếp, nên phải có 1 số chia hết cho 3 
p nguyên tố khác 3 nên p-1 hoặc p+1 chia hết cho 3 => (p-1)(p+1) chia hết cho 3 

Vậy: 
(8p-1)(8p+1) = 64p²-1 = 63p² + p² -1 = 3.21p² + (p-1)(p+1) chia hết cho 3 
vì 8p-1 là số nguyên tố lớn hơn 3 => 8p+1 chia hết cho 3, hiển nhiên 8p+1 > 3 
=> 8p+1 là hợp số 
---------- 
Cách khác: 
phân tích: 8p-1 = 9p - (p+1) ; 8p+1 = 9p - (p-1) 
xét 3 số nguyên liên tiếp: p-1, p, p+1 
p và p+1 không thể chia hết cho 3 (xét riêng p = 3 như trên) 
=> p-1 chia hết cho 3 => 8p+1 = 9p - (p-1) chia hết cho 3

Answer 2

[Tsurugi Kyousuke]

Xét p=2=>8p-1=16-1=15( hợp số, loại)

Xét p=3=>8p-1=24-1=23(số nguyên tố)

=>8p+1=24+1=25(hợp số)

Xét p>3, vì p là số ngyên tố=>p có 2 dạng 3k+1 và 3k+2

-Với p=3k+1=>8p-1=8.(3k+1)-1=8.3k+8-1=3.8k+7

=> 8p+1=8.(3k+1)=8.3k+8+1=3.8k+9=3.(8k+3) là hợp số.

-Với p=3k+2=>8p-1=8.(3k+2)-1=8.3k+16-1=3.8k+15=3.(8k+5) (hợp số, loại)