Question

[Hoàng Nguyệt]

Cho nửa đường tròn tâm O, đường Mn=2R. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa nửa đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến Mx và Ny với nửa đường tròn. Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn (I khác M,N). Tiếp tuyến tại I cắt Mx và Ny lần lượt tại A và B

a) Tính góc AOB

b) Gọi P là giao điểm của MI và OA, Q là giao điểm của NI và OB. CMR: PO.PA+QO.QB=R^2

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét (O) có 

BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

BN là tiếp tuyến có N là tiếp điểm(gt)

Do đó: OB là tia phân giác của \(\widehat{NOI}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(\widehat{BOI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{NOI}\)

Xét (O) có 

AI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

AM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: OA là tia phân giác của \(\widehat{IOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(\widehat{AOI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{IOM}\)

Ta có: \(\widehat{IOB}+\widehat{IOA}=\widehat{BOA}\)(tia OI nằm giữa hai tia OA và OB)

\(\Leftrightarrow\widehat{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{ION}+\widehat{IOM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0\)

hay \(\widehat{AOB}=90^0\)

Vậy: \(\widehat{AOB}=90^0\)