Câu hỏi của EDOGAWA CONAN

Question

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R . Điểm C cố định trên nửa đường tròn . Điểm M thuộc cung AC . Kẻ MH vuông góc với AB . Mb cắt CA tại E . Kẻ EI vuông góc với AB . Gọi K là giao điểm của AC và MH . CMR

a , tứ giác BHKC nội tiếp .

b , AK.AC = AM.AM

c , AE.AC + BE.BM không phụ thuộc vị trí điểm M .

Kim So Hyun · Accepted Answer

A B M C E I H K P Q

a) Xét (O) có: $\widehat{ACB}$ $=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

hay $\widehat{KCB}$ $=90^0$

Lại có: $MH\perp AB\left(K\in MH\right)$

$\Rightarrow$ $KH\perp AB$

$\Rightarrow$ $\widehat{KHB}$ $=90^0$

Vì $\widehat{KCB}+\widehat{KHB}$ $=90^0+90^0=180^0$

$\Rightarrow$ Tứ giác KCBH nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Kẻ MH cắt (O) tại P, EI cắt (O) tại Q.

Xét (O) có: $\left\{{}\begin{matrix}MP\perp AB\AB=2R\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow MH=HP$ (quan hệ vuông góc đường kính và dây)

$\Rightarrow$ $\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{AP}$ (đl liên hệ giữa dây và cung)

Xét (O) có:

$\widehat{MCA}=\stackrel\frown{AM}/2$ (đl góc nội tiếp)

$\widehat{AMP}=\stackrel\frown{AP}/2$ (đl góc nội tiếp)

Mà $\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{AP}$ (cmtrn)

$\Rightarrow$ $\widehat{MCA}=\widehat{AMP}$ hay $\widehat{MCA}=\widehat{AMK}$

Xét ΔMKA∼ΔCMA vì:

$\widehat{MAC}:chung$

$\widehat{AMK}=\widehat{MCA}$ (cmtrn)

$\Rightarrow\frac{AK}{MA}=\frac{MA}{AC}\Leftrightarrow AK.AC=AM^2$ (đpcm)

c) Vì $EI\perp AB$

$\Rightarrow$ $\widehat{EIA}$ $=90^0$

Xét ΔAEI∼ΔABC vì:

$\widehat{EIA}=\widehat{ACB}$ $=90^0$

$\widehat{CAB}:chung$

$\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AI}{AC}\Leftrightarrow AE.AC=AI.AB$ (1)

Xét (O) có: $\widehat{AMB}$ $=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có: $\widehat{EIA}+\widehat{EIB}$ $=180^0$ (hai góc kề bù)

$\Leftrightarrow$ $\widehat{EIB}$ $=180^0-$ $\widehat{EIA}$ $=180^0-90^0=90^0$

Xét ΔEBM∼ΔABM vì:

$\widehat{AHM}=\widehat{AMB}$ $=90^0$

$\widehat{MAB}:chung$

$\Rightarrow\frac{EB}{AB}=\frac{BI}{BM}\Leftrightarrow EB.BM=BI.AB$ (2)

Cộng (1) và (2) Ta có:

$AE.AK+BE.BM=AI.AB+IB.AB$

$\Leftrightarrow AE.AK+BE.BM=AB.\left(AI+IB\right)=AB.AB$

$\Leftrightarrow AE.AK+BE.BM=AB^2$ (mà $AB=2R$)

$\Leftrightarrow AE.AK+BE.BM=\left(2R\right)^2$

Vì $\left(2R\right)^2$ không thay đổi khi M chuyển động

$\Rightarrow AE.AK+BE.BM$ không phụ thuộc vào vị trí M (đpcm).Câu trả lời: A B M C E I H K P Q