Question

[nguyen thi tuyetnhung]

Cho nửa đường tròn đường kính AB =2R.Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax ,By .qua diem M  thuoc nua duong tron ke :tiep tuyen thu 3 cat cac tiep tuyen Ax ,By lan luot o C  va D . Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N .Chứng minh

1, AC+BD=CD

2,goc COD=90⁰

3, AC.BD=AB²/4

4, OC//BM

5,AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

6, MN vuong goc AB

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Xét (O) có

CM là tiếp tuyến

CA là tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là tia phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là tia phân giác của góc MOB(2)

Ta có: CM+MD=CD

nên CD=AC+BD

2: Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

3: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

hay \(AC\cdot BD=\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2=\dfrac{AB^2}{4}\)

4: Ta có: CM=CA

nên C nằm trên đường trung trực của MA(3)

Ta có: OM=OA

nên O nằm trên đường trung trực của MA(4)

Từ (3) và (4) suy ra OC\(\perp\)MA(5)

Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔMAB vuông tại M

Suy ra: MA\(\perp\)MB(6)

Từ (5) và (6) suy ra MB//OC