Question

[Đăng Trần Hải]

Cho \(n\inℕ^∗\). CM \(T=1^5+2^5+3^5+....+n^5\)chia hết cho \(S=1+2+3+.....+n\)

Answer 1

[Đặng Ngọc Quỳnh]

Ta có: 2S=n(n+1)

Áp dụng tính chất: \(a^n+b^n⋮a+b\)với a, b là các số nguyên dương và n lẻ, ta có:

\(2T=\left(1^5+n^5\right)+\text{[}2^5+\left(n-1\right)^5\text{]}+...+\left(n^5+1^5\right)⋮\left(n+1\right)\)

Tương tự \(2T⋮n\)

Mà \(\left(n.n+1\right)=1\Rightarrow2T⋮n\left(n+1\right)hayT⋮S\)

Tổng quát:

Có thể chứng minh được:

\(A\left(k.n\right)=1^k+2^k+...+n^k⋮T\left(n\right)=1+2+3+...+n\forall n,k\in N;n\ge1\)và k lẻ