Question

[Khương Vũ Phương Anh]

Cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a^2+b^2+c^2=1\end{matrix}\right.\)

CMR: \(\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{b^2+a^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

Answer 1

[chikaino channel]

Đề đầy Đủ phải thêm cái \(a^2+b^2+c^2=1\) nữa

Lười Ghi đề giải típ luôn nha Đặt Biểu Thức đã cho là A

\(=\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}+\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}+\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số dương ta có

\(a^2\left(1-a^2\right)^2=\frac{1}{2}.a^2\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{2a^2+1-a^2+1-a^2}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)

\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Rightarrow\frac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)(1)

Tương tự ta có \(\frac{b^2}{b\left(1-b^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2\)(2)

\(\frac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}c^2\)(3)

Từ (1),(2) và (3) ta có 

\(A\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Vậy ta có \(đpcm\)