Question

[Đom Đóm]

Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm AD, kẻ AI vuông góc với MB

a. Cm: ΔAMB đồng dạng với ΔIMA

b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Cm: OC.BD=BC.DC.

c. BM cắt AC tại K, AI cắt BD tại H. Cm: HK//AD và BH=2DH

d*. Cho AM=30cm. Tính diện tích ΔAIB

Em cần giải câu c, d ạ

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔAMB vuông tại A và ΔIMA vuông tại I có

\(\widehat{AMB}\) chung

Do đó: ΔAMB~ΔIMA

b: Ta có:ABCD là hình vuông

=>AC\(\perp\)BD tại O, O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔDOC vuông tại O và ΔDCB vuông tại C có

\(\widehat{ODC}\) chung

DO đó: ΔDOC~ΔDCB

=>\(\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{OC}{CB}\)

=>\(DC\cdot CB=OC\cdot DB\)

c: Xét ΔHAB có

BI,AO là các đường cao

BI cắt AO tại K

Do đó: K là trực tâm của ΔHAB

=>HK\(\perp\)AB

mà AB\(\perp\)AD

nên HK//AD

d:

M là trung điểm của AD

=>\(AD=2\cdot AM=60\left(cm\right)\)

=>AB=60(cm)

ΔABM vuông tại A

=>\(BM^2=AB^2+AM^2=60^2+30^2=4500\)

=>\(BM=\sqrt{4500}=30\sqrt{5}\left(cm\right)\)

ΔABM vuông tại A

=>\(S_{ABM}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AM=900\left(cm^2\right)\)

Xét ΔBIA vuông tại I và ΔBAM vuông tại A có

\(\widehat{IBA}\) chung

Do đó ΔBIA~ΔBAM

=>\(\dfrac{S_{BIA}}{S_{BAM}}=\left(\dfrac{BA}{BM}\right)^2=\left(\dfrac{60}{30\sqrt{5}}\right)^2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\dfrac{4}{5}\)

=>\(S_{BIA}=\dfrac{4}{5}\cdot S_{BAM}=720\left(cm^2\right)\)

Answer 2

[huong ha]

a/ Xét tg vuông AMB và tg vuông IMA có

$\widehat{MAI}=\widehat{ABM}$ (cùng phụ với $\widehat{AMB}$ )

=> tg AMB đồng dạng với tg IMA (g.g.g)

b/

Trong hình vuông hai đường chéo vuông góc với nhau

Xét tg vuông OBC và tg vuông CBD có

$\widehat{DBC}$ chung => tg OBC đồng dạng với tg CBD $\Rightarrow \frac{OC}{DC}=\frac{BC}{BD}\Rightarrow OC.BD=BC.DC\left(dpcm\right)$

c/ Kéo dài AH cắt CD tại N

Xét tg vuông ABM và tg vuông DAN có

$\widehat{DAN}=\widehat{ABM}$ (cùng phụ với $\widehat{AMB}$ )

AB=AD (cạnh hình vuông)

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DAN$ (Tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

=> AM=DN mà $AM=\frac{AD}{2}$ Và AD=CD $\Rightarrow DN=\frac{AD}{2}=\frac{CD}{2}\Rightarrow DN=CN$

Xét tg ADC có

OA=OC (trong tg vuông hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => DO là trung tuyến của tg ADC

DN=CN (cmt) => AN là trung tuyến của tg ADC

=> H là trọng tâm của tg ADC $\Rightarrow \frac{HO}{DO}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{HO}{DH}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{HO}{1}=\frac{DH}{2}=\frac{HO+DH}{1+2}=\frac{OD}{3}$

Mà OD=OB $\Rightarrow \frac{DH}{2}=\frac{HO}{1}=\frac{OB}{3}=\frac{HO+OB}{1+3}=\frac{BH}{4}\Rightarrow DH=\frac{BH}{2}\Rightarrow BH=2.DH\left(dpcm\right)$