Question

[Trịnh Trúc Uyên]

Cho hình vuông ABCD có độ dài các cạnh bằng 4cm. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Nối CM và DN cắt nhau tại E.

a) Chứng minh CM vuông góc với DN

b) Tính chính xác các tỉ số lượng giác của góc CMN

c) Tính diện tích của tam giác MDN

Answer 1

[Lê Trần Nhật Linh]

a, ta có \(\widehat{C}=\widehat{B}\) , MB=NC, DC=CB (gt)

⇒DNC ∼ CMB (c-g-c)

⇒\(\widehat{DNC}=\widehat{CMB}\)

mà \(\widehat{CMB}+\widehat{MCB}=90^o\)

⇒\(\widehat{DNC}+\widehat{MCB}=90^o\)

⇒\(\widehat{E}\) vuông

⇒MC ⊥ DN

c, theo pitago tính được DN= \(\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\)

áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào ΔDNC ta có \(\dfrac{1}{EC^2}=\dfrac{1}{DC^2}+\dfrac{1}{NC^2}=\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{5}{16}\)

⇒EC= \(\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{5}{16}}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)

⇒ME=MC-EC=\(2\sqrt{5}-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\)

⇒SΔMDN=\(\dfrac{1}{2}.ME.DN=\dfrac{1}{2}\).\(\dfrac{6\sqrt{6}}{5}\). \(2\sqrt{5}\)= 6(cm)

b,theo định lý sin trong tam giác ta có \(\dfrac{MN}{\sin\left(90^o\right)}=\dfrac{EN}{\sin\left(\widehat{CMN}\right)}\)

⇔\(\dfrac{2\sqrt{2}}{\sin\left(90^o\right)}=\dfrac{EN}{\sin\left(\widehat{CMN}\right)}\)

theo pitago ta tính được EN=\(\sqrt{CN^2-EC^2}=\sqrt{2^2-(\dfrac{4\sqrt{5}}{5})^2}\)=\(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)

⇒sin\((\widehat{CMN)}\)=\(\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)

áp dụng định lý cosin trong tam giác ta có

\(\cos\left(\widehat{CMN}\right)=\dfrac{MN^2+MC^2-CN^2}{2.MN.MC}=\dfrac{\left(2\sqrt{2}\right)^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2-2^2}{2.2\sqrt{2}.2\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)

còn tan và cotan em tự tính nốt nhé