Question

[Vũ Nguyễn Anh Thư]

 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2 căn 5cm. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD,DC
và I là giao điểm của AN,BM và.
1. Chứng minh rằng AN vuông góc với MB
2. Tính AI,MI.
3. Tính diện tích tứ giác BINC.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Ta có: \(AM=MD=\dfrac{AD}{2}\)

\(DN=NC=\dfrac{DC}{2}\)

mà AD=DC

nên AM=MD=DN=NC

Xét ΔADN vuông tại D và ΔBAM vuông tại A có

AD=BA

DN=AM

Do đó: ΔADN=ΔBAM

=>\(\widehat{AND}=\widehat{BMA}\)

=>\(\widehat{BMA}+\widehat{MAI}=90^0\)

=>AN\(\perp\)BM tại I

2: \(AM=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\left(cm\right)\)

ΔAMB vuông tại A

=>\(AM^2+AB^2=BM^2\)

=>\(BM=\sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2+\left(\sqrt{5}\right)^2}=5\left(cm\right)\)

Xét ΔAMB vuông tại A có AI là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}MI\cdot MB=MA^2\\AI\cdot MB=AM\cdot AB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}MI\cdot5=\left(\sqrt[]{5}\right)^2=5\\AI\cdot5=2\sqrt{5}\cdot5=10\end{matrix}\right.\)

=>MI=1(cm); AI=10/5=2(cm)

3: MI+IB=MB

=>IB+1=5

=>IB=4(cm)

ΔAIB vuông tại I

=>\(S_{AIB}=\dfrac{1}{2}\cdot AI\cdot IB=\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot4=2\left(cm^2\right)\)

ΔADN vuông tại D

=>\(S_{ADN}=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5\left(cm^2\right)\)

ABCD là hình vuông

=>\(S_{ABCD}=AB\cdot AD=2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}=20\left(cm^2\right)\)

Ta có: \(S_{ABCD}=S_{AIB}+S_{ADN}+S_{NCBI}\)

=>\(S_{NIBC}+2+5=20\)

=>\(S_{NIBC}=13\left(cm^2\right)\)