Question

[Đăng Nhật Hoàng]

Cho hình thoi ABCD, đường cao AH. Biết AC=m, BD=n, AH=h.

Cm: \(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}\)

Answer 1

[Thu]

Kẻ OE,OF,OG,OH lần lượt là đg cao của các tam giác vuông DOC,AOB,AOD,BOC.

Vì OE=OF=OG=OH=h

và:AC=m;OA=OC-->OA=OC=m/2

tg tự với DB=n;DO=DB ta cũng có:

DO=OB=n/2

Xét tam giác vuông AOB (O= 90 độ do hình thoi có 2 đg chéo vuông góc)

và OF là đường cao có:

1/OF² =1/OA^2+1/OB^2

-->1/h^2=1/\(\left(\frac{m}{2}\right)\)^2+1/(n/2)^2                        (1)

CM tương tự vs các tam giác vuông còn lại đều đc kquar như trên đánh số (1),(2),(3),(4)

Cộng (1),(2), (3),(4) ta đc:4/h^2 =16/m^2+16/n^2

Chia cả  2 vế cho 16 ta đc điều phải cm