Question

[Nguyễn Văn Nhật]

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AD>BD. E,F là hình chiếu của B và D xuống AC. Gọi H,K là hình chiếu của C xuống AB và AD

a) BEDF là hình gì ?

b) Chứng minh CH.CD= CB.CK

c) Chứng minh AB.AH+AD.AK=AC²

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a. Ta thấy \(\Delta ABE=\Delta CDF\left(gh-gn\right)\). Vậy \(BE=DF\). Lại có BE//DF (Vì cùng vuông góc AC) nên BEFD là hình bình hành.

b. \(\Delta HCB\sim\Delta KCD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{HC}{CK}=\frac{CB}{CD}\Rightarrow HC.CD=CK.CB\)

c. Ta thấy \(\Delta ABE\sim\Delta ACH\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AH}\Rightarrow AB.AH=AC.AE\)

Tương tự \(\Delta AFD\sim\Delta AKC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AK}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AD.AK=AC.AF\)

Lại có AF = EC nên AE + AF = AE + EC = AC.

Vậy \(AB.AH+AD.AK=AC\left(AE+EC\right)=AC^2\)