Question

[Nguyễn Khánh Linh]

Cho hình bình hành ABCD có cạnh AD = a và AB = 2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD 

a) Chứng minh tam giác ADN cân và AN là tia phân giác của góc BAD . 

b) Chứng minh rằng : MD // NB .

c) Gọi P là giao điểm của AN với DM , Q là giao điểm của CM với BN . Chứng minh tứ giác PMQN là hình chữ nhật .

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Do AB = 2a, AD = A nên AB = 2AD.

Lại có ABCD là hình bình hành nên AB = CD. Vậy thì \(DN=\frac{CD}{2}=\frac{AB}{2}=AD\)

Xét tam giác ADN có DA = DN nên ADN là tam giác cân tại D.

Do tam giác ADN cân tại D nên \(\widehat{DAN}=\widehat{DNA}\) 

Do AB//DC nên \(\widehat{BAN}=\widehat{DNA}\) (Hai góc so le trong)

Vậy nên \(\widehat{DAN}=\widehat{BAN}\) hay AN là phân giác góc \(\widehat{BAD}\)

b) Ta có \(MB=\frac{1}{2}AB;DN=\frac{1}{2}DC\Rightarrow\) MB song song và bằng ND.

Xét tứ giác MDNB có MB song song và bằng ND hay MDNB là hình bình hành.

Vậy thì MD // NB

c) Tương tự câu b, ta chứng minh được AMCN là hình bình hành hay AN // MC

Xét tứ giác MPNQ có MP//QN và MQ//PN nên MPNQ là hình bình hành.

Xét tứ giác AMND có AM song song và bằng ND hay AMND là hình bình hành.

Lại có AD = AM nên AMND là hình thoi. Suy ra AN vuông góc DM hay \(\widehat{MPN}=90^o\) .

Xét hình bình hành MPNQ có \(\widehat{MPN}=90^o\) nên MPNQ là hình chữ nhật.