Question

[Vũ Hiền Vi]

Cho hàm số : \(y=\frac{x^2-x+1}{x-1}\) có đồ thị (C)

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với  đường thẳng \(\Delta:3x-4y+1=0\)

b. Biện luận theo \(m\ne0\) số tiếp tuyến của (C) mà tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(\Delta_m:x-my+m+1=0\)

Answer 1

[Trần Khánh Vân]

Ta có : \(y'=\frac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}\)

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với (C)

\(d:y=\frac{x_0^2-2_0x}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\frac{x_0^2-x_0+1}{x_0-1}\)

a) Vì d song song với đường thẳng \(\Delta:y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}\) nên ta có :

\(\frac{x_0^2-2_0x}{\left(x_0-1\right)^2}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x_0^2-2_0x-3=0\Leftrightarrow x_0=-1;x_0=3\)

* \(x_0=-1\) phương trình tiếp tuyến : \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\)

* \(x_0=3\) phương trình tiếp tuyến : \(y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}\)

b) Đường thẳng \(\Delta_m\) có hệ số góc \(k_m=\frac{1}{m}\)

Số tiếp tuyến thỏa mãn bài toán chính là số nghiệm của phương trình :

\(y'.k_m=-1\Leftrightarrow\frac{m\left(x^2-2x\right)}{\left(x-1\right)^2}=-1\)

                   \(\Leftrightarrow\left(m+1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+1=0\left(1\right)\)

* Nếu m = - 1 suy ra (1) vô nghiệm, suy ra không có tiếp tuyến nào

* Nếu \(m\ne-1\), suy ra (1) có \(\Delta'=m\left(m+1\right)\) và (1) có nghiệm \(x=1\Leftrightarrow m=0\)

             + Khi \(\left[\begin{array}{nghiempt}m>0\\m< -1\end{array}\right.\) suy ra (*) có 2 nghiệm phân biệt nên có 2 tiếp tuyến

             + Khi \(-1< m\le0\) thì (*) vô nghiệm nên không có tiếp tuyến nào