Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ý kiến đúng
Giả sử ngược lại y = f(x) + g(x) liên tục tại x0. Đặt h(x) = f(x) + g(x). Ta có g(x) = h(x) - f(x).
Vì y = h(x) và y = f(x) liên tục tại x0 nên hiệu của chúng là hàm số y = g(x) phải liên tục tại x0. Điều này trái với giả thiết là y = g(x) không liên tục tại x0.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Thịnh ơi, có gì mấy câu trả lời SGK em giúp anh trình bày đầy đủ và làm đẹp nhé, có Latex đầy đủ á. Mình làm hướng đến cộng đồng, em giúp hoc24 nhé!
a) Ta có: \(\Delta x = x - {x_0},\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h({x_0} + \Delta x) - h({x_0})}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x) + g(x) - f({x_0}) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{g\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}} + \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\end{array}\)
b) \(h'({x_0})\) = \(f'({x_0}) + g'({x_0})\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1. Áp dụng quy tắc L'Hopital
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{f\left(0\right)-f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{-f'\left(0\right)}=-\dfrac{1}{6}\)
2.
\(g'\left(x\right)=2x.f'\left(\sqrt{x^2+4}\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\f'\left(\sqrt{x^2+4}\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\sqrt{x^2+4}=1\\\sqrt{x^2+4}=-2\end{matrix}\right.\)
2 pt cuối đều vô nghiệm nên \(g'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét hàm số g(x) = f(x) − f(x + 0,5)
Ta có
g(0) = f(0) − f(0 + 0,5) = f(0) − f(0,5)
g(0,5) = f(0,5) − f(0,5 + 0,5) = f(0,5) − f(1) = f(0,5) − f(0)
(vì theo giả thiết f(0) = f(1)).
Do đó,
g ( 0 ) . g ( 0 , 5 ) = [ f ( 0 ) − f ( 0 , 5 ) ] . [ f ( 0 , 5 ) − f ( 0 ) ] = − f ( 0 ) − f ( 0 , 5 ) 2 ≤ 0 .
- Nếu g(0).g(0,5) = 0 thì x = 0 hay x=0,5 là nghiệm của phương trình g(x) = 0
- Nếu g(0).g(0,5) < 0 (1)
Vì y = f(x) và y = f(x + 0,5) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số y = g(x) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên [0; 0,5] (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng
Kết luận : Phương trình g(x) = 0 hay f(x) − f(x + 0,5) = 0 luôn có nghiệm trong đoạn (0;0,5)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)
Ví dụ minh hoạ :
- f ( x ) = x 2 − 1 liên tục trên đoạn [−2;2], f(−2).f(2) = 9 > 0
Phương trình x 2 – 1 = 0 có nghiệm x = 1 hoặc x = -1 trong khoảng (-2; 2)
- f ( x ) = x 2 + 1 liên tục trên đoạn [-1; 1] và f(−1).f(1) = 4 > 0. Còn phương trình x 2 + 1 = 0 lại vô nghiệm trong khoảng (-1; 1)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử ( x n ) là dãy số bất kì thoả mãn n < a và x n → − ∞
Vì nên
Vì nên
Do đó,
Từ định nghĩa suy ra
Đặt![Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11](http://cdn.hoc24.vn/bk/x7M4zwuC8syE.png)
Suy ra g(x) xác định trên ( a ; b ) \ x 0 và![Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11](http://cdn.hoc24.vn/bk/lHyrcKr4NXGr.png)
Mặt khác, f ( x ) = f ( x 0 ) + L ( x − x 0 ) + ( x − x 0 ) g ( x ) nên
Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại