Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Em mới tìm được Min thôi ạ, Max =\(2\sqrt{2}+4\)nhưng chưa biết cách giải , mọi người giúp với ạ
áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ta có:
\(a^3+b^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3b^3.1}=3ab\)
\(\Rightarrow M=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}=\frac{\left(a^3+b^3+1\right)+3}{ab+1}\ge\frac{3ab+3}{ab+1}=3\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của M=3 khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=2\\a^3=b^3=1\end{cases}\Rightarrow}a=b=1\)
\(0\le a\le\sqrt{2}\Rightarrow a\left(a-\sqrt{2}\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\sqrt{2}\Rightarrow a^3\le a^2\sqrt{2}\)
Tương tự và cộng lại: \(a^3+b^3\le\sqrt{2}\left(a^2+b^2\right)=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow M\le\frac{2\sqrt{2}+4}{ab+1}\le\frac{2\sqrt{2}+4}{1}=2\sqrt{2}+4\) (do \(ab\ge0\Rightarrow ab+1\ge1\))
Dấu "=" khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\sqrt{2}\right);\left(\sqrt{2};0\right)\)
Ta có: \(a^2+b^2=4\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=4+2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=4+2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4=2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)=2ab\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2}=ab\)
\(M=\frac{ab}{a+b+2}=\frac{\left(a+b+2\right)\left(a+b-2\right)}{2\left(a+b+2\right)}=\frac{a+b-2}{2}\)
\(\Leftrightarrow M=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\). Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxoopki cho 2 số a/2 và b/2 ta có:
\(\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2\le\frac{1}{2}.4=2\)( do \(a^2+b^2=4\))
\(\Rightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\le\sqrt{2}\Leftrightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Vậy GTLN của biểu thức \(M=\frac{ab}{a+b+2}\)là \(\sqrt{2}-1\).
Ta có : \(\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab=4+2ab\)
\(\Rightarrow a+b=\sqrt{4+2ab}\)
Khi đó \(M=\frac{ab}{\sqrt{4+2ab}+2}\)
Dễ thấy \(\sqrt{4+2ab}>2\)nên có thể nhân liên hợp
\(M=\frac{ab}{\sqrt{4+2ab}+2}=\frac{ab\left(\sqrt{4+2ab}-2\right)}{\left(\sqrt{4+2ab}+2\right)\left(\sqrt{4+2ab}-b\right)}\)
\(=\frac{ab\left(\sqrt{4+2ab}-2\right)}{4+2ab-4}\)
\(=\frac{ab\left(\sqrt{4+2ab}-2\right)}{2ab}\)
\(=\frac{\sqrt{4+2ab}-2}{2}\le\frac{\sqrt{4+a^2+b^2}-2}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{4+4}-2}{2}=\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" tại \(a=b=\sqrt{2}\)
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
\(2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{2}{\sqrt{ab}}\le2\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{ab}\le1\)
\(Q=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{\left(a^2+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b^2\right)^2}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2}\right)=\frac{1}{4ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)
...
Hằng đẳng thức sai rồi nha Quân eii , nhìn lại cái bậc của ẩn a,b ở 2 mẫu số đi -__