D
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PN
26 tháng 4 2021
Áp dụng bđt phụ \(\sqrt{ \left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\)có
\(VT=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+\frac{y}{y+\sqrt{\left(y+x\right)\left(z+y\right)}}+\frac{z}{z+\sqrt{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}+\frac{y}{y+\sqrt{yz}+\sqrt{yx}}+\frac{z}{z+\sqrt{zx}+\sqrt{zy}}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}+\frac{y}{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}+\frac{z}{\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
YY
5 tháng 6 2018
\(x+\sqrt{x+yz}=x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=x+\sqrt{x^2+yz+x\left(z+y\right)}\)
\(\ge x+\sqrt{2\sqrt{x^2yz}+x\left(y+z\right)}=x+\sqrt{x\cdot2\sqrt{yz}+x\left(y+z\right)}=x+\sqrt{x\left(y+z+2\sqrt{yz}\right)}\)
\(=x+\sqrt{x\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}=x+\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}\le\frac{x}{x+\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
tương tự :
\(\frac{y}{y+\sqrt{y+xz}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{z}}\)
\(\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
cộng vế theo vế ta được
\(\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}\le\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
dấu "=" xảy tra khi x=y=z=1/3
VT
28 tháng 5 2017
ta có 3x + yz = x2 + xy + yz + zx = (x+y)(x+z)
do đó:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}{\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+x\right)\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}\)
= \(\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}\le\frac{x\left(\frac{x+y+x+z}{2}-x\right)}{xy+yz+zx}\)\(\le\frac{x\left(y+z\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
tương tự với 2 số hạng còn lại nên ta được: P\(\le\)1. đpcm
TN
29 tháng 6 2016
Áp dụng B.C.S ta có:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự cộng lại ta có dpcm.
Dấu = khi x=y=z=1
21 tháng 9 2018
\(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
\(\Rightarrow xyz\le1\)
\(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\le\frac{x^2+1+1}{3}+\frac{y^2+1+1}{3}+\frac{z^2+1+1}{3}=3\)
Ta co:
\(A=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{y\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{xyz}}+\frac{z\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\ge x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\)
\(\Rightarrow3A\ge3\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\ge\left(x\sqrt[3]{x}+y\sqrt[3]{y}+z\sqrt[3]{z}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}+\sqrt[3]{z^2}\right)\)
\(\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow A\ge xy+yz+zx\)
KN
25 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz, ta có: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3=x^2+y^2+z^2\)(Do \(x^2+y^2+z^2=3\))
Ta có: \(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\frac{x}{\sqrt[3]{yz.1}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx.1}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy.1}}\)
\(\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}+\frac{y}{\frac{z+x+1}{3}}+\frac{z}{\frac{x+y+1}{3}}\)\(=\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{z+x+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+zx+x}+\frac{3y^2}{yz+xy+y}+\frac{3z^2}{zx+yz+z}\)\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}\)(Theo BĐT Cauchy - Schwarz dạng Engle)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)+x^2+y^2+z^2}=\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\)
\(\ge xy+yz+zx\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
1 tháng 1 2020
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(x^4+y^2\ge2x^2y\)
\(x^2+y^4\ge2xy^2\)
\(\Rightarrow M\le\frac{x}{2x^2y}+\frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{xy}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Vậy..........
10 tháng 9 2016
Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow xy+yz+zx=xyz\)
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Bình phương vế trái :
\(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\)
\(=\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)+2\left(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\right)\)Bình phương vế phải :
\(\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2=\left(xyz+x+y+z\right)+2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
Suy ra cần phải chứng minh : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)(*)
Thật vậy, theo bđt Bunhiacopxki ta có : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}\)
\(\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}\)
\(\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}\)
Cộng các bđt trên theo vế ta chứng minh được (*) đúng.
Vậy bđt ban đầu được chứng minh.
14 tháng 2 2017
Ý tưởng khác
Cũng từ giả thiết suy ra \(xyz=xy+yz+xz\)
Suy ra \(\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{x^2+xyz}{x}}=\sqrt{\frac{x^2+xy+yz+xz}{x}}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\)
Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\) do đó:
\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{x}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại \(\sqrt{y+xz}\ge\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}};\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT được \(VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xy+yz+xz}{\sqrt{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\) (Đpcm)
\(x+y=3\sqrt{xy}\)
<=> \(\frac{x}{y}-3\sqrt{\frac{x}{y}}+1=0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\\\frac{x}{y}=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
Ta có \(x+y=3\sqrt{xy}\Leftrightarrow\frac{x}{y}+1=3\sqrt{\frac{x}{y}}\left(1\right)\)
Đặt \(u=\frac{x}{y}\)ta có u>0 và (1) <=> \(u^2-3u+1=0\)
<=> \(u=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\left(\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\right)^2\)