Question

[Trần Nhã Uyên]

Cho f(x) = ax² + bx + c với a, b, c là các số hữu tỉ. CMR: \(f\left(-2\right).f\left(3\right)\le0\)

biết rằng 13a + b + 2c = 0

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

Ta có \(f\left(-2\right).f\left(3\right)=\left(4a-2b+c\right)\left(9a+3b+c\right)\)

\(=36a^2-6b^2+c^2-6ab+13ac+bc\)

Thay b = - 13a - 2c, ta có

 \(36a^2-6\left(-13a-2c\right)^2+c^2-6a\left(-13a-2c\right)+13ac+\left(-13a-2c\right)c\)

\(=-900a^2-300ac-25c^2=-25\left(36a^2+12ac+c^2\right)\)

\(-25\left(6a+c\right)^2\le0\forall a;c\)

Vậy nên \(f\left(-2\right).f\left(3\right)\le0\)

Answer 2

[Doãn Minh Cường]

Cách này đơn giản hơn:  Có   \(f\left(-2\right)=4a-2b+c;f\left(3\right)=9a+3b+c\) 

Do đó   \(f\left(-2\right)+f\left(3\right)=13a+b+2c=0\) (theo giả thiết). Từ đó \(f\left(-2\right)=-f\left(3\right)\) nên 

                                      \(f\left(-2\right)f\left(3\right)=-f^2\left(3\right)\le0\)