Question

[Cô Hoàng Huyền]

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $MN$ và $A$ là một điểm trên đường tròn $(O)$, ($A$ khác $M$ và $A$ khác $N$). Lấy một điểm $I$ trên đoạn thẳng $ON$ ($I$ khác $O$ và $I$ khác $N$). Qua $I$ kẻ đường thẳng $(d)$ vuông góc với $MN$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm của $AM$, $AN$ với đường thẳng $(d)$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $N$ qua điểm $I$. Chứng minh \(\widehat{PMK}=\widehat{IQN}\) và tứ giác $MPQK$ nội tiếp đường tròn.

Answer 1

[Phan Thanh Thảo]

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $MN$ và $A$ là một điểm trên đường tròn $(O)$, ($A$ khác $M$ và $A$ khác $N$). Lấy một điểm $I$ trên đoạn thẳng $ON$ ($I$ khác $O$ và $I$ khác $N$). Qua $I$ kẻ đường thẳng $(d)$ vuông góc với $MN$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm của $AM$, $AN$ với đường thẳng $(d)$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $N$ qua điểm $I$. Chứng minh góc PMK = IQN$\hat{}$ và tứ giác $MPQK$ nội tiếp đường tròn.

 Xét 2 tam giác AMN và IQN có :

góc A= goc QIN= 90 (gt)

=> goc M= IQN= 90 - goc N (đpcm)

Xet 2 tam giác IQK và IQN có: 

IQ chung

vì $K$ là điểm đối xứng của $N$ qua điểm $I$

$=>\; IK\; =IN$

$góc\; QIK\; =\; QIN=90$

$=>$2 tam giác IQK = IQN (c.g.c)

=> góc IQK=IQN=PQA=PMK

trong đó  góc PQK + IQN = 180

=> góc PQK + PMK = 180

=> đpcm