Question

[Nguyễn Hoa Hồng]

Cho đường tròn tâm O , đường kính AB . Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC . Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E .Vẽ dây cung EF//AD ,vẽ CH vuông góc với AB tại H 
1/Chứng minh : AE=AF và BE=BF 
2/ADCO là tứ giác nội tiếp 
3/DC^2=DE.DB 
4/AF.CH=AC.EC 
5/Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O) 
6/Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D,Q,F thẳng hàng.

*GIÚP MÌNH VỚI THỨ HAI MÌNH PHẢI NỘP BÀI RỒI:')

Answer 1

[Nguyễn Tuấn]

4] 
tg DEC ~ tg DCB 
=> EC/BC = DC/DB 
=> EC = BC.DC/DB 
=> AC.EC = AC.BC.DC/DB = 2S(ACB).DC/DB 
Cần c/m AF.CH = AC.EC 
<=> AF.CH = 2S(ACB).DC/DB 
<=> AE.DB = 2S(ACB).DC/CH (*) 
Mà 2S(ACB)/CH = AB 
=> (*) <=> AE.DB = AB.DC = AB.DA 
Mà AE.DB = 2S(ADB); AB.DA = 2S(ADB) 
Vậy: AF.CH = AC.EC 

5] 
Ta đi c/m KA=KD để suy ra KE là tiếp tuyến. 
AE kéo dài CH tại M 
=> AK/CM = KI/IC 
=> KD/CH = KI/IC 
=> AK/CM = KD/CH (*) 

DP cắt CH tại P; BC cắt AD tại J 
=> HP/AD = BP/BD = CP/DJ (**) 
Tam giác ACJ vuông tại C, AD=AD => DC là trung tuyến => AD=DJ 
Từ (**) => HP=PC 

Xét 2 tg vuông AMH và HBP, ta có ^AMH = ^HBP (cạnh tương ứng vuông góc) 
=> tg AMH ~ HBP 
=> MH/AH = HB/PH 
=> MH = AH.HB/PH = AH.HB/(CH/2) = 2AH.HB/CH (***) 
Do CH^2 = AH.HB => AH.HB/CH = CH 
Từ (***) => MH = 2CH => CM =CH 
Từ (*) => AK =KD 
=> KE là trung tuyến tg vuông ADE => ka=ke 
=> tg OKA = tg OKE (do OA=OE, OK chung; AK=KD) 
=> ^KEO = ^KAO = 90 
=> KE là tiếp tuyến của (O)