Question

[Nhat Minh Tran]

 Cho đường tròn (O,R) và một đường thẳng (d) không cắt đường tròn O. Dựng đường thẳng OH vuông góc với d tại H. Trên đường thẳng (d) lấy điểm K khác điểm H. Vẽ hai tiếp tuyến KA và KB với đường tròn sao cho A, H nằm về hai phía của đường thẳng OK. a) Chứng minh năm diểm A, B, O, K, H cùng nằm trên một đường tròn. b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng OH tại I. Chứng minh rằng IA.IB =IH.IO  c) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi điểm K chạy trên đường thẳng (d) cố định. 

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) Nhận thấy \(\widehat{OBK}=\widehat{OAK}=90^o\) \(\Rightarrow\) Tứ giác OAKB nội tiếp đường tròn (OK).

Mặt khác \(\widehat{OHK}=90^o\) nên \(H\in\left(OK\right)\)

\(\Rightarrow\) 5 điểm A, B, O, K, H cùng thuộc đường tròn (OK).

b) Từ câu a) \(\Rightarrow\) Tứ giác OAHB nội tiếp 

\(\Rightarrow\widehat{IHB}=\widehat{IAO}\)

Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta IHB~\Delta IAO\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{IB}{IO}\) \(\Rightarrow IA.IB=IH.IO\) (đpcm)

c) Gọi T là giao điểm của OK và AB.

Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau \(\Rightarrow OK\perp AB\) tại T

Tam giác OAK vuông tại A có đường cao AT nên \(OT.OK=OA^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét tam giác OTI và OHK, ta có:

\(\widehat{HOK}\) chung , \(\widehat{OTI}=\widehat{OHK}=90^o\)

 \(\Rightarrow\Delta OTI~\Delta OHK\left(g.g\right)\)

 \(\Rightarrow\dfrac{OT}{OH}=\dfrac{OI}{OK}\)

 \(\Rightarrow OT.OK=OH.OI\)

Mà \(OT.OK=OA^2\) (cmt) \(\Rightarrow OH.OI=OA^2\)

\(\Rightarrow OI=\dfrac{OA^2}{OH}\) là một hằng số 

\(\Rightarrow\) I thuộc đường tròn \(\left(O;\dfrac{OA^2}{OH}\right)\) cố định

Hơn nữa I nằm trên đường thẳng OH cố định nên I cố định

\(\Rightarrow\) AB đi qua I cố định.

Answer 2

[Nhat Minh Tran]

khó thế con Phương kia