Question

[Nekochan]

Cho đường tròn (o) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax với (O). Trên Ax lấy điểm M sao cho AM>AB, MB cắt (O) tại N (N khác B). Qua trung điểm P của đoạn AM dựng đường thẳng vuông góc với AM cắt MB tại Q.

a) Gọi C là điểm trên cung lớn NB của đường tròn (O), ( C khác N và C khác B). Chứn minh góc BCN = góc OQN

b) CM: PN là tiếp tuyến của (O)

c)Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ANP có độ dài đường kính bằng độ dài đoạn OA. Tính giá trị của \(\frac{AM}{AB}\)

Answer 1

[Hoa lưu ly]

a/ Ta có: QP vuông góc với AM  tại P (gt) (1)

               AB vuông góc với AM tại A(do Ax là tiếp tuyến của (O) tại A) (2)

Từ (1) và (2)=> QP//AB (3)

Mà: AP=PM=1/2 AM (gt)(4)

Từ (3) và (4)=>QP là đường trung bình trong tam giác ABM

=> QB=QM=1/2 BM (5)

Mà OB=OA (=R) (6)

Từ (5) và (6)=>OQ là đường trung bình trong tam giác ABM

=>OQ//AM (7)

Từ (2) và (7)=>góc BOQ=90 độ (=góc BAM)(8)

Tứ giác BNAC nội tiếp (O)

=> góc BCN=góc BAN (9)

Mà góc BAN+ góc ABN=90 độ (tam giác BOQ vuông do góc QOB=90 độ) (10)

Từ (9) và (10)=> góc BCN+góc ABN=90 độ (11)

Lại có: góc ABN + góc BQO= 90 độ (Tam giác BOQ vuông) (12)

Từ (11) và (12)=> góc BCN=góc BQO 

hay góc BCN=góc OQN (do B, N, Q thẳng hàng) (đpcm)