K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

12 tháng 8 2020

\(D=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}\)

\(=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}-1=-2\)

___

Ta có: \(\left(\sqrt{a-1}-1\right)^2\ge0\forall a\ge1\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a-1}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le\frac{1}{2}\)

Tương tự: \(\frac{\sqrt{b-1}}{b}\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{a-1}}{a}+\frac{\sqrt{b-1}}{b}\le1\)

\(\Leftrightarrow b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}\le ab\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)

12 tháng 8 2020

\(D=\sqrt{2+1-2\sqrt{2}}-\sqrt{2+1+2\sqrt{2}}\)

\(D=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}\)

\(D=\sqrt{2}-1-\left(\sqrt{2}+1\right)\)

\(D=\sqrt{2}-1-\sqrt{2}-1\)

\(D=-2\)

12 tháng 8 2020

CÂU THỨ 2 NHA !!!!!!

XÉT:        \(2VT=2a\sqrt{b-1}+2b\sqrt{a-1}\)

=>    \(2VT=a.2.\sqrt{1}.\sqrt{b-1}+b.2.\sqrt{1}.\sqrt{a-1}\)

TA ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 2 SỐ SẼ ĐƯỢC: 

=>    \(2VT\le a\left(1+b-1\right)+b\left(1+a-1\right)\)

=>   \(2VT\le ab+ab\)

=>   \(2VT\le2ab\)

=>   \(VT\le ab\)

=> TA CÓ ĐIỀU PHẢI CHỨNG MINH.

31 tháng 7 2020

mình mới gửi lên vài câu hỏi toán :vv giúp mình với ạ

31 tháng 7 2020

mình mới gửi lên vài câu hỏi toán :vv giúp mình với ạ

NV
7 tháng 3 2021

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^4;y^4;z^4\right)\Rightarrow xyz=1\)

\(VT=\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\)

\(VT=\dfrac{1}{x^2+y^2+y^2+1+2}+\dfrac{1}{y^2+z^2+z^2+1+2}+\dfrac{1}{z^2+x^2+x^2+1+2}\)

\(VT\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{1}{2yz+2z+2}+\dfrac{1}{2zx+2x+2}=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Bài 1:

b) Ta có: \(\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}\)

\(=\frac{\sqrt{2\left(4+\sqrt{7}\right)}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2\left(4-\sqrt{7}\right)}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{8+2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{8-2\sqrt{7}}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{7+2\cdot\sqrt{7}\cdot1+1}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{7-2\cdot\sqrt{7}\cdot1+1}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{7}+1\right)^2}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\left|\sqrt{7}+1\right|}{\sqrt{2}}-\frac{\left|\sqrt{7}-1\right|}{\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{7}+1-\sqrt{7}+1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Bài 2:

a) Ta có: \(\frac{a^2-\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}-\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}{a+\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}\)

\(=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)-\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\)

\(=a-\sqrt{a}-a-\sqrt{a}\)

\(=-2\sqrt{a}\)

b) Ta có: \(\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\)

\(=\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\)

\(=\sqrt{ab}-\sqrt{ab}=0\)

d) Ta có: \(\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\)

\(=\sqrt{a}+\sqrt{b}-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

=0

Bài 3:

a) ĐKXĐ: x≥0

Ta có: \(\frac{\sqrt{27x}}{\sqrt{3}}=6\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{27}\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{3}}=6\)

\(\Leftrightarrow3\cdot\sqrt{x}=6\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{6}{3}=2\)

hay \(x=4\)(thỏa mãn)

Vậy: S={4}

b) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x+1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ge-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge0\)

Ta có: \(\sqrt{x+1}=3-\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}\right)^2=\left(3-\sqrt{x}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x+1=9-6\sqrt{x}+x\)

\(\Leftrightarrow x+1-9+6\sqrt{x}-x=0\)

\(\Leftrightarrow-8+6\sqrt{x}=0\)

\(\Leftrightarrow6\sqrt{x}=8\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)

hay \(x=\frac{16}{9}\)(thỏa mãn)

Vậy: \(S=\left\{\frac{16}{9}\right\}\)

NV
27 tháng 4 2021

Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x^2;y^2;z^2\right)\) với \(x;y;z>0\Rightarrow xyz=1\)

Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P

Ta có: \(P=\dfrac{1}{x^2+2y^2+3}+\dfrac{1}{y^2+2z^2+3}+\dfrac{1}{z^2+2x^2+3}\)

\(P=\dfrac{1}{\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(y^2+z^2\right)+\left(z^2+1\right)+2}+\dfrac{1}{\left(z^2+x^2\right)+\left(x^2+1\right)+2}\)

\(P\le\dfrac{1}{2xy+2y+2}+\dfrac{1}{2yz+2z+2}+\dfrac{1}{2zx+2x+2}\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{1}{yz+z+1}+\dfrac{1}{zx+x+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{xyz}{yz+z+xyz}+\dfrac{y}{xyz+xy+y}\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{xy+y+1}+\dfrac{xy}{y+1+xy}+\dfrac{y}{1+xy+y}\right)=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

13 tháng 8 2020

Bài làm:

Ta có: \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{b-a}\)

\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{2b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)

\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-a+2\sqrt{ab}-b+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)

\(=\frac{4\sqrt{ab}+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)

\(=\frac{4\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)

\(=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

=> đpcm

22 tháng 9 2019

Bài 1:  (không dùng Cô-si) Bình phương hai vế, ta được:

\(c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le ab\)

\(ac-2c^2+bc+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le ab\)

\(0\le\left(ab-ac-bc+c^2\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\)

\(0\le\left(a-c\right)\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\)

\(0\le\left(\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}-c\right)^2\)(đúng)

Vậy BĐT đúng.  Xảy ra khi  \(a=b=2c\)