Question

[Nguyễn Thị Thanh Trang]

Cho \(\Delta ABC\), M, N, P là các điểm tùy ý thuộc các cạnh BC, CA, AB . Gọi \(S_{APN}=S_1,S_{AMP}=S_2,S_{MNC}=S_3,S_{ABC}=S\) . CMR:

\(a)\frac{S_1}{S}=\frac{AN.AP}{AC.AB}\)

\(b)S_1.S_2.S_3\le\frac{1}{64}S^3\)

Answer 1

[Phùng Minh Quân]

:vvvvvv sai đề, làm mãi ko ra, \(S_{BMP}=S_2\) mới đúng nha, thiếu đỉnh B 

a) Kẻ các đường cao NN₁, CC₁ tương ứng với AB (N₁, C₁ thuộc AB) 

\(\Delta ACC_1\) có \(NN_1//CC_1\) ( do cùng vuông góc với AB ) \(\Rightarrow\)\(\frac{NN_1}{CC_1}=\frac{AN}{AC}\) ( hệ quả định lí Ta-let ) 

Có: \(\frac{S_1}{S}=\frac{\frac{1}{2}NN_1.AP}{\frac{1}{2}CC_1.AB}=\frac{NN_1}{CC_1}.\frac{AP}{AB}=\frac{AN.AP}{AC.AB}\) ( đpcm ) 

b) Tương tự câu a, kẻ các đường cao MM₂, MM₃ tương ứng với AB và AC (M₂ thuộc AB, M₃ thuộc AC) 

\(\Delta BCC_1\) có \(MM_2//CC_1\) ( cùng vuông góc với AB ) \(\Rightarrow\)\(\frac{MM_2}{CC_1}=\frac{BM}{BC}\) ( hệ quả Ta-let ) 

\(\frac{S_2}{S}=\frac{\frac{1}{2}MM_2.BP}{\frac{1}{2}CC_1.AB}=\frac{MM_2}{CC_1}.\frac{BP}{AB}=\frac{BM.BP}{BC.AB}\) (1) 

Tiếp tục kẻ các đường cao MM₃, BB₁ tương ứng với AC ( M₃, B₁ thuộc AC ) 

\(\Delta BB_1C\) có \(MM_3//BB_1\) ( cùng vuông góc với AC ) \(\Rightarrow\)\(\frac{MM_3}{BB_1}=\frac{CM}{BC}\)

\(\frac{S_3}{S}=\frac{\frac{1}{2}MM_3.CN}{\frac{1}{2}BB_1.AC}=\frac{MM_3}{BB_1}.\frac{CN}{AC}=\frac{CM.CN}{BC.AC}\) (2) 

Từ (1), (2) và kết luận câu a) ta suy ra \(\hept{\begin{cases}S_1=\frac{AN.AP}{AC.AB}S\\S_2=\frac{BM.BP}{BC.AB}S\\S_3=\frac{CM.CN}{BC.AC}S\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(S_1.S_2.S_3=\frac{AN.AP}{AC.AB}.\frac{BM.BP}{BC.AB}.\frac{CM.CN}{BC.AC}S^3\) ( nhân 3 vế ba đẳng thức trên ) 

\(\Leftrightarrow\)\(S_1.S_2.S_3=\frac{AP.BP}{AB^2}.\frac{AN.CN}{AC^2}.\frac{BM.CM}{BC^2}S^3\)

Mà \(\hept{\begin{cases}AP.BP=\left(\sqrt{AP.BP}\right)^2\le\left(\frac{AP+BP}{2}\right)^2=\left(\frac{AB}{2}\right)^2=\frac{AB^2}{4}\\AN.CN=\left(\sqrt{AN.CN}\right)^2\le\left(\frac{AN+CN}{2}\right)^2=\left(\frac{AC}{2}\right)^2=\frac{AC^2}{4}\\BM.CM=\left(\sqrt{BM.CM}\right)^2\le\left(\frac{BM+CM}{2}\right)^2=\left(\frac{BC}{2}\right)^2=\frac{BC^2}{4}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(S_1.S_2.S_3\le\frac{\frac{AB^2}{4}}{AB^2}.\frac{\frac{AC^2}{4}}{AC^2}.\frac{\frac{BC^2}{4}}{BC^2}S^3=\frac{1}{64}S^3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}AP=BP\\AN=CN\\BM=CM\end{cases}}\) hay M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB