Question

[Tam Cao Duc]

Cho đa giác đều \(A_1A_2...A_{2n}\) nội tiếp đường tròn \(\left(O,R\right)\) . Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm \(A_1,A_2,...,A_{2n}\) nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm \(A_1,A_2,...,A_{2n}\) . Tìm n

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Số tam giác: \(C_{2n}^3=\frac{\left(2n\right)!}{\left(2n-3\right)!.6}=\frac{n\left(2n-1\right)\left(2n-2\right)}{3}\)

Cứ hai đường chéo qua tâm của đa giác đều sẽ đóng vai trò hai đường chéo của hình chữ nhật

Đa giác có \(n\) đường chéo qua tâm \(\Rightarrow C_n^2=\frac{n\left(n-1\right)}{2}\) hình chữ nhật

Ta có pt:

\(\frac{n\left(2n-1\right)\left(2n-2\right)}{3}=10n\left(n-1\right)\)

\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n-8\right)=0\Rightarrow n=8\)