K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

11 tháng 9 2015

Giả thiết cho ta \(\left(x^2+y^2\right)^2+x^2+2y^2=3.\) Đặt \(t=x^2+y^2\) (ta có \(t\ge0\)). 

Giá trị lớn nhất:  Từ giả thiết ta suy ra \(t^2+t=3-y^2\le3\to\left(t+\frac{1}{2}\right)^2\le3+\frac{1}{4}\to t\le\frac{\sqrt{13}-1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ \(y=0,x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{13}-1}{2}}\). Vậy giá trị lớn nhất của \(B=t\) là \(\frac{\sqrt{13}-1}{2}.\)

Giá trị bé nhất:  Từ giả thiết \(t^2+2t=3+x^2\ge3\to\left(t+1\right)^2\ge4\to t+1\ge2\to t\ge1.\) Dấu bằng xảy ra khi \(x=0,y=\pm1\). Vậy giá trị bé nhất của \(B=t\) là \(1.\)

 

11 tháng 9 2015

okchu alna

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 6 2023

Lời giải:

$A=(x+y)(x^2-xy+y^2)+x^2+y^2=2(x^2-xy+y^2)+x^2+y^2=2(x^2+y^2)+(x-y)^2$

$\geq 2(x^2+y^2)=(1^2+1^2)(x^2+y^2)\geq (x+y)^2=2^2=4$ (theo BĐT Bunhiacopxky)

Vậy $A_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại $x=y=1$

NV
8 tháng 12 2021

\(A\le\sqrt{3\left(x+y+y+z+z+x\right)}=\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\le\sqrt{6.\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}=\sqrt{6\sqrt{3}}\)

\(A_{max}=\sqrt{6\sqrt{3}}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Do \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z\ge x^2+y^2+z^2=1\)

\(A^2=2\left(x+y+z\right)+2\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+2\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

\(A^2=2\left(x+y+z\right)+2\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+2\sqrt{y^2+xy+yz+zx}+2\sqrt{z^2+xy+yz+zx}\)

\(A^2\ge2\left(x+y+z\right)+2\sqrt{x^2}+2\sqrt{y^2}+2\sqrt{z^2}=4\left(x+y+z\right)\ge4\)

\(\Rightarrow A\ge2\)

\(A_{min}=2\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị

11 tháng 1 2021

24 tháng 5 2021

\(x^2+y^2+xy=3\)

Có \(x^2+y^2\ge2xy\) \(\Rightarrow3=x^2+y^2+xy\ge2xy+xy\) \(\Leftrightarrow xy\le1\)

\(x^2+y^2\ge-2xy\) \(\Rightarrow3=x^2+y^2+xy\ge-2xy+xy\) \(\Leftrightarrow-3\le xy\) 

Đặt A= \(x^2+y^2-xy=\left(3-xy\right)-xy=3-2xy\)

mà \(-3\le xy\le1\) \(\Rightarrow9\ge3-2xy\ge1\)

=> minA=1 <=> \(\left\{{}\begin{matrix}xy=1\\x=y\end{matrix}\right.\) <=>x=y=1

maxA=9 <=>\(\left\{{}\begin{matrix}xy=-3\\x=-y\end{matrix}\right.\) <=>\(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{3};-\sqrt{3}\right);\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\)

NV
24 tháng 5 2021

Đặt \(P=x^2+y^2-xy\)

\(\Rightarrow\dfrac{P}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2+y^2+xy}\)

\(\dfrac{P}{3}=\dfrac{3x^2+3y^2-3xy}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}=\dfrac{x^2+y^2+xy+2\left(x^2+y^2-2xy\right)}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}\)

\(\dfrac{P}{3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x-y\right)^2}{3\left(x^2+y^2+xy\right)}\ge\dfrac{1}{3}\Rightarrow P\ge1\)

\(P_{min}=1\) khi \(x=y=1\)

\(\dfrac{P}{3}=\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2+y^2+xy}=\dfrac{3\left(x^2+y^2+xy\right)-2\left(x^2+y^2+2xy\right)}{x^2+y^2+xy}=3-\dfrac{2\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2+xy}\le3\)

\(\Rightarrow P\le9\)

\(P_{max}=9\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{3};-\sqrt{3}\right);\left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\)

NV
28 tháng 12 2020

Không nhìn thấy bất cứ chữ nào của đề bài cả 

14 tháng 2 2017

Ta có:

  P = 1 x ( 1 z 2 + 1 y 2 ) + 1 y ( 1 z 2 + 1 x 2 ) + 1 z ( 1 x 2 + 1 y 2 )

Đặt:  1 x = a ; 1 y = b ; 1 z = c  thì a,b,c>0 và a2+b2+c2=1

P = a b 2 + c 2 + b c 2 + a 2 + c a 2 + b 2 = a 2 a ( 1 − a 2 ) + b 2 b ( 1 − b 2 ) + c 2 c ( 1 − c 2 )

Áp dng bất đng thức Côsi cho 3 số dương ta có:

a 2 1 - a 2 2 = 1 2 .2 a 2 ( 1 − a 2 ) ( 1 − a 2 ) ≤ 1 2 2 a 2 + 1 − a 2 + 1 − a 2 3 = 4 27 = > a ( 1 − a 2 ) ≤ 2 3 3 < = > a 2 a ( 1 − a 2 ) ≥ 3 3 2 a 2 ( 1 )

Tương tự:  b 2 b ( 1 − b 2 ) ≥ 3 3 2 b 2 ( 2 ) ; c 2 c ( 1 − c 2 ) ≥ 3 3 2 c 2 ( 3 )

T (1); (2); (3) ta có  P ≥ 3 3 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 3 3 2

Đng thức xảy ra  a = b = c = 1 3 h a y   x = y = z = 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  3 3 2

4 tháng 3 2021

Điểm rơi: \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Ta tách biểu thức được như sau: \(A=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y})\)

\(\geq 2\sqrt{x.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{2y}}+\frac{1}{2}.\frac{4}{x+y}=2\sqrt{2}+\frac{2}{x+y}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta lại có:

\((x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=2 \Rightarrow x+y\leq \sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\geq 3\sqrt{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

27 tháng 10

đây là những món quà mà bn sẽ nhận đc: 1: áo quần 2: tiền 3: đc nhiều người yêu quý 4: may mắn cả 5: luôn vui vẻ trong cuộc sống 6: đc crush thích thầm 7: học giỏi 8: trở nên xinh đẹp phật sẽ ban cho bn những điều này nếu cậu gửi tin nhắn này cho 25 người,

 

22 tháng 9 2019

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

1 32 32 x 29 x + 3 y  ≤  1 4 2 32 x + 29 x + 3 y 2 = 1 8 2 61 x + 3 y

Tương tự

1 32 32 y 29 y + 3 x  ≤  1 8 2 61 y + 3 x

=> P ≤  4 2 x + y  ≤  4 2 x 2 + 1 2 + y 2 + 1 2 = 8 2

Vậy P min =  8 2 <=> x = y = 1

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 10 2023

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$P^2\leq (x+y)[(29x+3y)+(29y+3x)]=32(x+y)^2\leq 32.(x^2+y^2)(1+1)=64(x^2+y^2)\leq 64.2=128$

$\Rightarrow P\leq 8\sqrt{2}$
Vậy $P_{\max}=8\sqrt{2}$