Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu a>0 và b>0 thì a+c>b+c
Nếu a<0 và b<0 thì a+c<b+c
Nếu a>b và c>0 thì ac>bc
Nếu a>c và c<0 thì ac<bc
Xét hiệu VT - VP
\(\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{b+c}{ab+b^2}+\dfrac{c+a}{ab+c^2}-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}=\dfrac{a^2+ab-bc-a^2}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{b^2+bc-ac-b^2}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{c^2+ac-ab-c^2}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{c\left(b-a\right)}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}\)
Do a,b,c bình đẳng nên giả sử a\(\ge\)b\(\ge\)c, khi đó \(b\left(a-c\right)\)\(\ge\)0, c(b-a)\(\le\)0, a(c-b)\(\le\)0
\(a^3\ge b^3\ge c^3=>abc+a^3\ge abc+b^3\ge abc+c^3\)=>\(\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}\le\dfrac{b\left(a-c\right)}{b\left(ac+b^2\right)}\)
=> VT -VP \(\le\) \(\dfrac{b\left(a-c\right)}{a\left(bc+a^2\right)}+\dfrac{c\left(b-a\right)}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{ab-ac}{b\left(ac+b^2\right)}+\dfrac{ac-ab}{c\left(ab+c^2\right)}=\dfrac{a\left(b-c\right)}{b\left(ac+b^2\right)}-\dfrac{a\left(b-c\right)}{c\left(ab+c^2\right)}\)
mà \(\dfrac{1}{b\left(ac+b^2\right)}\le\dfrac{1}{c\left(ab+c^2\right)}\) nên VT-VP <0 đpcm
b)Theo BĐT Côsi:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\left(\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}\right)}=2b\)
Tương tự ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)
Cộng vế với vế của 3 bđt trên rồi chia 2 vế bđt thu được cho 2 ta có ngay đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
a) Nếu k có điều kiện a, b > 0 thì bất đẳng thức k thể xảy ra
b) Ta có : \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Cộng 2 vế của bất đẳng thức ta được :
\(2.\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2.\left(a+b+c\right)\)
=> bất đẳng thức cần chứng minh
a) bn sai đề nhé,đề đúng là : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) > \(\frac{4}{a+b}\) nhé,vì mk làm rồi
Giả sử \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) > \(\frac{4}{a+b}\)
=> \(\frac{a+b}{ab}\) > \(\frac{4}{a+b}\)
=>\(\left(a+b\right)\left(a+b\right)\) > 4ab
=>\(\left(a+b\right)^2-4ab\) > 0
=>\(a^2+2ab+b^2-4ab\) > 0
=>\(a^2-2ab+b^2\) > 0
=>\(\left(a-b\right)^2\) > 0
BĐT cuối luôn đúng với mọi a;b
=>điều giả sử là đúng,ta có đpcm
(*)đề sai nên Kiệt ko ra là phải
Cho a,b,c> 0 chứng minh bất đẳng thức
(c+\(\frac{a}{bc}\))(a+\(\frac{b}{ac}\))(b+\(\frac{c}{ab}\))>=8
do a,b,c > áp dụng BĐT Cosi ta có
c+a/bc>=2<c.a/bc>=2<a/b>(bạn hiểu <> là căn bậc 2 nhan )
a+b/ac>=2<b/c>
b+c/ab>=2<c/a>
suy ra (c+a/bc)(a+b/ac)(b+c/ab)>=2<a/b>.2<b/c>.2<c/a>=8<abc/abc>=8(đpcm)
Tự c/m BĐT phụ nhé: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Dấu " = " xay ra <=> a\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
Áp dụng:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge9\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=3
Anh dinh: EM có cách phần a) khá quen thuộc ạ!TỐi giờ nghĩ mãi ko ra,ai ngờ đơn giản :v
a)Áp dụng BĐT \(\frac{q^2}{x}+\frac{p^2}{y}\ge\frac{\left(q+p\right)^2}{x+y}\) hai lần,ta được:
Ta có: \(VT=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
Áp dụng BĐT quen thuộc \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Ta có: \(VT=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca^{\left(đpcm\right)}\)
Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc
Nếu a > b và c > 0 thì a + c > b + c
Nếu a > b và c < 0 thì a + c > b + c
Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc
Nểu a < b và c > 0 thì ac < bc
Nếu a < b và c > 0 thì a + c < b + c
Nếu a < b và c < 0 thì ac > bc
Nếu a < b và c < 0 thì a + c < b + c