Question

[Vũ Việt Đức]

Cho bốn số nguyên dương bất kỳ a, b, c, d. Chứng minh rằng số

\(A=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d}\)  không phải là số một số nguyên

Answer 1

[Nguyễn Minh Quang]

ta có do a,b,c,d là các số dương nên

 \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{b}{a+b}>\frac{b}{a+b+d}>\frac{b}{a+b+c+d}\)

\(\frac{c}{c+d}>\frac{c}{b+c+d}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

\(\frac{d}{c+d}>\frac{d}{a+c+d}>\frac{d}{a+b+c+d}\)

Cộng 4 bất đẳng thức trên lại ta sẽ có:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}>A>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}\)

hay \(2>A>1\)

vậy A không thể là 1 số nguyên.