Question

[GT 6916]

Cho biểu thức P =\(\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{z+y}\)  . Tìm giá trị của biểu thức P biết rằng :

\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)

Answer 1

[tth_new]

Cộng 1 vào mỗi đẳng thức,ta có:

\(\frac{x}{y+z+t}+1=\frac{y}{z+t+x}+1=\frac{z}{t+x+y}+1=\frac{t}{x+y+z}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{y+z+t}=\frac{x+y+z+t}{t+x+y}=\frac{x+y+z+t}{x+y+z}\)

Do đó:

Nếu x + y + z + t = 0 thì P = -4

Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì x = y = z = t nên P = 4

Answer 2

[tth_new]

Giải thích thêm chỗ x + y + z + t = 0 suy ra \(P=-4\) nha:

Ta có: x + y + z + t =0

Suy ra: x + y = -(z+t) ;y + z = -(x+t)

z+ t = -(x + y); t + x = -(z+y)

Do đó: \(P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{z+y}\)

\(=\frac{-\left(z+t\right)}{z+t}+\frac{-\left(t+x\right)}{t+x}+\frac{-\left(x+y\right)}{x+y}+\frac{-\left(z+y\right)}{t+x}\)

\(=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-4\)

*còn chỗ x + y + z + t khác không suy ra x = y = z = t thì quá đơn giản r =))