Câu hỏi của A Lan

Question

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3 . Tìm GTLN của biểu thức : $P=a^2+b^2+c^2-\frac{3}{a}-\frac{3}{b}-\frac{3}{c}$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Ta có đánh giá sau: $a^2-\frac{3}{a}\le5a-7$ $\forall a\in\left(0;3\right)$

Thật vậy, BĐT tương đương:

$a^3-5a^2+7a-3\le0$

$\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a-3\right)\le0$ (luôn đúng $\forall a\in\left(0;3\right)$

Tương tự ta có: $b^2-\frac{3}{b}\le5b-7$; $c^3-\frac{3}{c}\le5c-7$

Cộng vế với vế:

$P\le5\left(a+b+c\right)-21=-6$

$\Rightarrow P_{max}=-6$ khi $a=b=c=1$Câu trả lời: Ta có đánh giá sau: $a^2-\frac{3}{a}\le5a-7$ $\forall a\in\left(0;3\right)$

Thật vậy, BĐT tương đương:

$a^3-5a^2+7a-3\le0$

$\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a-3\right)\le0$ (luôn đúng $\forall a\in\left(0;3\right)$

Tương tự ta có: $b^2-\frac{3}{b}\le5b-7$; $c^3-\frac{3}{c}\le5c-7$

Cộng vế với vế:

$P\le5\left(a+b+c\right)-21=-6$

$\Rightarrow P_{max}=-6$ khi $a=b=c=1$