Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có P=\(\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
Mà \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\Rightarrow P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2=1\)
Vậy P min = 1 <=> a=b=c=1/căn(3)
^^
ta có a^2+b^2+c^2=1
Mà a,b,c thuộc N
\(\Rightarrow\)TH1:a và b =0
TH2:b và c=0
TH3:c và a=0
nhưng \(P=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)có b,c,a là mẫu
Do đó không có P
Bạn ơi 2 phân số sau viết sai tử rùi kìa
Áp dụng bđt x^2+y^2 >= 2xy với mọi x,y
Xét : a^3/a^2+b^2 = a - ab^2/a^2+b^2 >= a-ab^2/2ab = a-b/2
Tương tự : b^3/b^2+c^2 >= b-c/2
c^3/c^2+a^2 >= c-a/2
=> A >= a+b+c-a/c-b/2-c/2 = a+b+c/2 = 3/2
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c và a+b+c=3
<=> a=b=c=1
Vậy Min A = 3/2 <=> a=b=c=1
k mk nha
\(A=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3+c^2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+bc+ca+ab}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ca+ab+bc}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\frac{\sqrt{c}\cdot\sqrt{c}}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c+a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+c}}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c+a}}\cdot\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c+b}}\)
\(\le\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}}{2}+\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}}{2}+\frac{\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}}{2}\)
\(=\frac{\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy Max A = 3/2 khi a = b = c = 1. (Max not Min)
\(P=\frac{a^4}{a\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^4}{b\sqrt{a^2+3}}+\frac{c^4}{c\sqrt{a^2+3}}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{a^2+3}+c\sqrt{a^2+3}}\)
Ta co : \(2a\sqrt{b^2+3}+2b\sqrt{c^2+3}+2c\sqrt{a^2+3}\le\frac{4a^2+b^2+3}{2}+\frac{4b^2+a^2+3}{2}+\frac{4a^2+c^2+3}{2}\)
=> \(2\left(a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3}\right)\le\frac{5\left(a^2+b^2+c^2\right)+9}{2}\) = \(\frac{5.3+9}{2}=12\)
=> \(a\sqrt{b^2+3}+b\sqrt{c^2+3}+c\sqrt{a^2+3}\le6\)
=> \(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi : \(\frac{a^2}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{b^2}{\sqrt{c^2+3}}=\frac{c^2}{\sqrt{a^2+3}}\)
\(2a=\sqrt{b^2+3};2b=\sqrt{c^2+3};2c=\sqrt{a^2+3}\)
\(a^2+b^2+c^2=3\)
=> a = b= c = 1
\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
=> BDT cần CMR <=> \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\)
Ta có \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
=>VT\(\ge\frac{a+b+c}{2}\) (Hơi tắt nên tự hiểu)
Ta đi Cm \(\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\)
<=> \(\frac{a+b+c}{2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2}\ge3\)(*)
\(\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{c^2+a^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\ge\frac{3}{2}\)
=>VT (*) \(\ge3\). Từ đó ta có dpcm
Kiêm đâu lắm bài bdt hay. Gửi link
\(\text{⋄}\)Dễ có: \(B\ge\left(3+\frac{4}{a+b}\right)\left(3+\frac{4}{b+c}\right)\left(3+\frac{4}{c+a}\right)\)
\(\text{⋄}\)Đặt \(b+c=x;c+a=y;a+b=z\left(x,y,z>0\right)\)thì \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)
Giả thiết được viết lại thành: \(x+y+z\le3\)và ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left(3+\frac{4}{x}\right)\left(3+\frac{4}{y}\right)\left(3+\frac{4}{z}\right)\)
\(\text{⋄}\)Ta có: \(\left(3+\frac{4}{x}\right)\left(3+\frac{4}{y}\right)\left(3+\frac{4}{z}\right)=27+36\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+48\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)+\frac{64}{xyz}\)\(\ge27+36.\frac{9}{x+y+z}+48.\frac{27}{\left(x+y+z\right)^2}+64.\frac{27}{\left(x+y+z\right)^3}\ge343\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1/2
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}\)
\(=\frac{9}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{27}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Mặt khác theo BĐT AM-GM có :
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)^2\le\left(\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)^3}{3}\right)=27\)
\(\Rightarrow\frac{27}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\ge a^2+b^2+c^2\)
Đặt \(t=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
Xét \(t+\frac{1}{t}=\frac{1}{9}+\frac{1}{t}+\frac{81}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Vậy \(MinP=\frac{10}{3}\Leftrightarrow a=b=c=-1\)
Sửa lại chút , vội quá nên đánh lỗi .
Xét \(t+\frac{1}{t}=\frac{1}{9}+\frac{1}{t}+\frac{8t}{9}\ge2\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
\(\Rightarrow MinP=\frac{10}{3}\Leftrightarrow a=b=c=1\)