Question

[jungkook]

Cho a,b,c,d thuộc Z.CMR:

(b-a)(c-a)(d-a)(d-c)(b-d)(c-b) chia hết cho 12.

Answer 1

[westlife]

4) P = (b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b) 
thấy hiệu của 2 số tùy ý (trong 4 số trên) là 1 trong những nhân tử của P 
* gọi r1, r2, r3, r4 là dư khi chia a, b, c, d cho 3 
có 0 ≤ ri < 3; có 4 số ri chỉ có thể nhận 3 giá trị (0, 1, 2) theo Dirichlet tồn tại ít nhất hai số ri, rj bằng nhau (i # j) chẳn hạn r1 = r2 => b-a = 3m - 3n + r2-r1 = 3(m-n) chia hết cho 3 
=> P chia hết cho 3 
* gọi r1, r2, r3, r4 là dư khi chia a, b, c, d cho 4 (0 ≤ ri < 4) 
nếu tồn tại ri = rj (i # j) chẳng hạn r1 = r2 thì a-b chia hết cho 4 
giả sử các ri đều khác nhau => 4 ri phải lấy đúng 4 giá trị khác nhau đôi 1: 0, 1, 2, 3 
không giãm tính tổng quát, giả sử: r1 = 1, r2 = 2, r3 = 3, r4 = 0 
khi đó có r2-r4 = 2 và r3-r1 = 2 => (b-d) và (c-a) chia hết cho 2 => P chia hết cho 4