Question

[Kaneki Ken]

Cho a,b,c,d nguyên dương thỏa mãn a<b<=c<d, ad=bc , căn(d) - căn(a) <=1

a, CMR: a+d>b+c

b,CMR a là số chính phương

Ai rảnh giúp nhé @@ cần trc' 10h30

Answer 1

[IS]

a) ta có

\(a\left(a+d\right)-a\left(b+c\right)=a^2+ad-ab-ac=a^2+bc-ab-ac=\left(a-b\right)\left(a-c\right)>0\)

do đó \(a\left(a+d\right)>a\left(b+c\right)\Leftrightarrow a+d>b+c\)

b) ta có 

\(1\ge\left(\sqrt{d}-\sqrt{a}\right)^2=a+d-2\sqrt{ad}=>2\sqrt{ad}\ge a+d-1\)

mặt khác \(2\sqrt{ad}=2\sqrt{bc}\le b+c\)

suy ra \(b+c\ge a+d-1>b+c-1.DO\left(a+d-1\right)\)là số nguyên nên a+d-1=b+c

do đó

\(2\sqrt{ad}=a+d-1\Leftrightarrow\sqrt{d}-\sqrt{a}=1\Leftrightarrow\sqrt{d}=\sqrt{a}+1\)

bình phương 2 zế ta có

\(d=a+2\sqrt{a}+1\Leftrightarrow\sqrt{a}=\frac{d-a-1}{2}\)

do đó căn a là số hữu tỷ . MÀ a là số nguyên dương nên căn a là số nguyên . zì zậy a là số chính phương

Answer 2

[Kaneki Ken]

Tks nhiều ạ @@