Question

[Nguyễn Minh Đăng]

Cho a,b,c,d khác 0 thỏa mãn ab = cd

CMR: a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ + c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴ là hợp số

Answer 1

[Xyz OLM]

\(ab=cd\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{d}{b}\)

Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=ck\\d=bk\end{cases}}\)

Khi đó : a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ + c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴

= (ck)²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ + c²⁰¹⁴ + (bk)²⁰¹⁴

= c²⁰¹⁴(k²⁰¹⁴ + 1) + b²⁰¹⁴(k²⁰¹⁴ + 1)

= (k²⁰¹⁴ + 1)(c²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴) \(⋮\)(c²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴)

=> a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ + c²⁰¹⁴ + d²⁰¹⁴ là hợp số 

Answer 2

[Tran Le Khanh Linh]

trình bày theo cách khác

gọi ƯCLN (a,c)=m \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=ma_1\\c=mc_1\end{cases}\left(a_1;c_1\inℤ\right),\left(a_1,c_1\right)=1}\)

vì a,b,c,d là số nguyên thỏa mãn ab=cd

\(\Rightarrow ma_1b=mc_1d\Leftrightarrow a_1b=c_1d\)nên \(a_1b⋮c_1\)

mà (a₁;c₁)=1 nên b chia hết cho c₁ => b=nc₁ => d=na₁, do đó

\(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}+d^{2014}=\left(ma_1\right)^{2014}+\left(nc_1\right)^{2014}+\left(mc_1\right)^{2014}+\left(na_1\right)^{2014}\)

\(=a_1^{2014}\left(m^{2014}+n^{2014}\right)+c_1^{2014}\left(m^{2014}+n^{2014}\right)\)

\(=\left(m^{2014}+n^{2014}\right)\left(a_1^{2014}+c_1^{2014}\right)\)là hợp số