Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^2+ab+b^2=\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(P\ge\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}\)
\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
\(Q=\sum\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{1}{2}\sum\left(a+b\right)=a+b+c=2019\)
\(\Rightarrow Q_{min}=2019\) khi \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
Với \(ab+bc+ca=1\) và a,b,c>0 ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\\\sqrt{b^2+1}=\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\\\sqrt{c^2+1}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\end{matrix}\right.\). Do đó:
\(\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}=a+b\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}=b+c\) ; \(\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}=c+a\)
\(\Rightarrow P=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P^2=4\left(a+b+c\right)^2\ge4.3\left(ab+bc+ca\right)=4.3.1=12\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(MinP=2\sqrt{3}\)
Chú ý: \(2a^2+ab+2b^2=\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2\) là ok liền:D
Mấy bạn ơi , cho tớ hỏi:
Luật tính điểm hỏi đáp là gì?
Làm thế nào để câu trả lời của mình đứng đầu tiên trong các câu trả lời?
Ai trả lời nhanh mình tích cho.
\(a^2+ab+b^2=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)
Tương tự, ta có:
\(M\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(b+c\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(c+a\right)=\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
a/ Nếu (a + b) < 0 thì bất đẳng thức đúng
Với (a + b) \(\ge0\)thì ta có
\(2a^2+ab+2b^2\ge\frac{5}{4}\left(a^2+2ab+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
b/ Áp dụng BĐT BCS :
\(1=\left(1.\sqrt{a}+1.\sqrt{b}+1.\sqrt{c}\right)^2\le3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\ge\frac{1}{3}\)
Áp dụng câu a/ :
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\)
\(\sqrt{2c^2+ac+2a^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{2}.2\left(a+b+c\right)\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{9}\)
Vậy min P = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) khi a=b=c=1/9
ta có : \(P=\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ac}}{b+2\sqrt{ac}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\le\frac{\frac{1}{2}\left(b+c\right)}{a+b+c}+\frac{\frac{1}{2}\left(a+c\right)}{a+b+c}+\frac{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
=> GTLN của P là 1 khi a=b=c
Đặt S = \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ac+a^2}\)
\(S=\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\\ =\sqrt{a^2+2ab+b^2-3ab}+\sqrt{b^2+2bc+c^2-3bc}+\sqrt{c^2+2ca+a^2-3ca}\\ =\sqrt{\left(a+b\right)^2-\dfrac{3}{4}\cdot4ab}+\sqrt{\left(b+c\right)^2-\dfrac{3}{4}\cdot4bc}+\sqrt{\left(c+a\right)^2-\dfrac{3}{4}\cdot4ca}\)
Áp dụng BĐT cô - si ta có :
\(\Rightarrow S=\sqrt{\left(a+b\right)^2-\dfrac{3}{4}\cdot4ab}+\sqrt{\left(b+c\right)^2-\dfrac{3}{4}\cdot4bc}+\sqrt{\left(c+a\right)^2-\dfrac{3}{4}\cdot4ca}\\ \ge\sqrt{\left(a+b\right)^2-\dfrac{3}{4}\cdot\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\left(b+c\right)^2-\dfrac{3}{4}\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\left(c+a\right)^2-\dfrac{3}{4}\left(c+a\right)^2}\\ =\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(b+c\right)^2}+\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(c+a\right)^2}\\ =\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)+\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)+\dfrac{1}{2}\left(c+a\right)\\ =\dfrac{1}{2}\left(a+b+b+c+c+a\right)\\ =a+b+c\\ =2019\)
Dấu " = " xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=2019\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=673\\b=673\\c=673\end{cases}}}\)
Vậy Min S = 2019 <=> a=b=c = 673