Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét ΔABC có BC^2=AB^2+AC^2
nên ΔABC vuông tại A
Xét (C) có
CA là bán kính
AB vuông góc CA tại A
Do đó: AB là tiếp tuyến của (C)
Xét (B) có
BA là bán kính
CA vuông góc BA tại A
Do đó: CA là tiếp tuyến của (B)
b: M ở đâu vậy bạn?
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(a+b+c+ab+ac+bc=6abc\) \(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Hay \(x+y+z+xy+yz+xz=6\)
Cần chứng minh \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=x^2+y^2+z^2\ge3\)
Ta có : \(\left(x^2+1\right)+\left(y^2+1\right)+\left(z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z\right)\) (BĐT Cosi)
\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\) (BĐT Cosi)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Lời giải:
\(Q=\frac{ab}{c+ab}+\frac{ac}{b+ac}+\frac{bc}{a+bc}-\frac{1}{4abc}=\frac{ab}{c(a+b+c)+ab}+\frac{ac}{b(a+b+c)+ac}+\frac{bc}{a(a+b+c)+bc}-\frac{1}{4abc}\)
\(=\frac{ab}{(c+a)(c+b)}+\frac{ac}{(b+a)(b+c)}+\frac{bc}{(a+b)(a+c)}-\frac{1}{4abc}\)
\(=\frac{ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{4abc}\)
\(=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{4abc}\) (đẳng thức quen thuộc \((a+b)(b+c)(c+a)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc\) )
\(=1-\left(\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{1}{4abc}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{1}{108abc}\geq 2\sqrt{\frac{1}{54(a+b)(b+c)(c+a)}}\).
Mà \(2=(a+b)+(b+c)+(c+a)\geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{27}\)
\(\Rightarrow \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{1}{108abc}\geq \frac{1}{2}\)
\(1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}\)
\(\Rightarrow \frac{13}{54abc}\geq \frac{13}{2}\)
Do đó: \(\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{1}{4abc}\geq 7\)
\(\Rightarrow Q\leq 1-7=-6=Q_{\max}\)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
bạn ơi lí do vì sao ở cái biểu thức bạn rút gọn là \(1-\left(\dfrac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{4abc}\right)\)
nhưng bạn dùng bđt cô-si lại là
\(\dfrac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{108abc}\)
\(\dfrac{1}{4abc}\) bạn không dùng mà bạn lại dùng là \(\dfrac{1}{108abc}\) vậy bạn?
Bạn có thể giải thích rõ chỗ đó cho mình được không bạn?
a+b+c+ab+bc+ca=6abc \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=6\)
Đặt \(A=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)
Ta có: \(\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{2}{ab}\)
CMTT: \(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{2}{bc};\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}\ge\dfrac{2}{ca}\)
Ta có: \(\left(\dfrac{1}{a}-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+1\ge\dfrac{2}{a}\)
CMTT: \(\dfrac{1}{b^2}+1\ge\dfrac{2}{b};\dfrac{1}{c^2}+1\ge\dfrac{2}{c}\)
\(3A+3\ge2.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=2.6=12\)
<=> A + 1 \(\ge4\Leftrightarrow A\ge3\) (đpcm)
con súc vật đừng có tag tao vào tao đéo thích giúp loại như mày